拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也简称均值定理，是以法国数学家约瑟夫·拉格朗日命名，为罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

内容

文字叙述

如果函数${\displaystyle f(x)}$满足：

1. 在闭区间${\displaystyle [a,b]}$上连续;
2. 在开区间${\displaystyle (a,b)}$内可微分;

则${\displaystyle \exists \xi ,\;a<\xi <b}$，使${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$。

证明

拉格朗日中值定理的几何意义：函数${\displaystyle f(x)}$在点${\displaystyle \xi }$处的切线，平行于${\displaystyle f(a)}$和${\displaystyle f(b)}$两点之间的连线。

令${\displaystyle g(x)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\cdot (x-a)+f(a)-f(x)}$。那么

1. ${\displaystyle g}$在${\displaystyle [a,b]}$上连续，
2. ${\displaystyle g}$在${\displaystyle (a,b)}$上可微（导），
3. ${\displaystyle g(a)=g(b)=0}$。由罗尔定理，存在至少一点${\displaystyle \xi \in (a,b)}$，使得${\displaystyle g'(\xi )=0}$。即${\displaystyle f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$。

其他形式

1.${\displaystyle f(b)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta (b-a))(b-a),0<\theta <1}$;

2. ${\displaystyle f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a+\theta h)h,0<\theta <1}$. 或 ${\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\Delta x,0<\theta <1}$.

另请参见

• 中值定理