模λ函数

在数学中，模λ函数${\displaystyle \lambda (\tau )}$^[1]，又称椭圆λ函数，是定义于复上半平面H的全纯函数，具有高度对称性。该函数在同余子群Γ(2)的对H的分式线性作用下不变，亦是商空间Γ(2)\H上函数域的生成元；也就是说，这个函数是模曲线X(2)的主模曲线（英语：Hauptmodul）。特别地，该函数沿实轴平移两个单位，函数值不改变，即${\displaystyle \lambda (\tau +2)=\lambda (\tau )}$^[2]。在任意点${\displaystyle \tau }$上，其值可用于描述椭圆曲线${\displaystyle E=\mathbb {C} /\langle 1,\tau \rangle }$对其投影线${\displaystyle E/[-1]}$的分歧覆盖映射的四个分支点（英语：Branch point）之交比，式中[-1]为E对原点的反演变换生成的自同构群。

模λ函数的色相环复变函数图形，其中黑色代表0、白色代表无穷、灰色代表未定义点、其余颜色的色相代表复数辐角且明亮度代表复数的模，绘制范围在实部-3至3内、虚部-3至3内。从中可以看到模λ函数仅在复数上半平面有定义，并具备高度对称性，并且沿着实数轴每2个单位图样会重复一次

模λ函数具有如下的傅立叶展开式：

${\displaystyle \lambda \left(\tau \right)=16q-128q^{2}+704q^{3}-3072q^{4}+11488q^{5}-38400q^{6}+\dots }$，其中${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$。 A115977

λ(ix)的函数图像

模性质

模λ函数在由下式生成的模群（英语：Modular group）的主同余子群Γ(2)的作用下保持不变：^[3]:115

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +2\ ;\ \tau \mapsto {\frac {\tau }{1-2\tau }}\ .}$

模群自身的生成元则以如下方式作用于模λ函数之上：^[3]:109

${\displaystyle \tau \mapsto \tau +1\ :\ \lambda \mapsto {\frac {\lambda }{\lambda -1}}\,;}$

${\displaystyle \tau \mapsto -{\frac {1}{\tau }}\ :\ \lambda \mapsto 1-\lambda \ .}$

与其他椭圆函数的关联

λ函数为亚可比模量（Jacobi modulus）的平方^[3]:108，即${\displaystyle \lambda (\tau )=k^{2}(\tau )}$；亦可以戴德金η函数与Θ函数表达：

${\displaystyle \lambda (\tau )={\Bigg (}{\frac {{\sqrt {2}}\,\eta ({\tfrac {\tau }{2}})\eta ^{2}(2\tau )}{\eta ^{3}(\tau )}}{\Bigg )}^{8}={\frac {16}{\left({\frac {\eta (\tau /2)}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+16}}={\frac {\theta _{2}^{4}(0,\tau )}{\theta _{3}^{4}(0,\tau )}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}}}-{\big (}\lambda (\tau ){\big )}^{1/4}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\eta ({\tfrac {\tau }{4}})}{\eta (\tau )}}\right)^{4}=2\,{\frac {\theta _{4}^{2}(0,{\tfrac {\tau }{2}})}{\theta _{2}^{2}(0,{\tfrac {\tau }{2}})}}}$

其中：^[3]:63

${\displaystyle \theta _{2}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\left({n+{\frac {1}{2}}}\right)^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{3}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}}$

${\displaystyle \theta _{4}(0,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}}$

${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

λ函数亦可以魏尔斯特拉斯椭圆函数在定义其的格子的棱边中点和面心处的函数值表达；若令${\displaystyle [\omega _{1},\omega _{2}]}$为满足${\displaystyle \tau ={\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}}$的基本周期二元组：

${\displaystyle e_{1}=\wp \left({\frac {\omega _{1}}{2}}\right),e_{2}=\wp \left({\frac {\omega _{2}}{2}}\right),e_{3}=\wp \left({\frac {\omega _{1}+\omega _{2}}{2}}\right)}$

则有：^[3]:108

${\displaystyle \lambda ={\frac {e_{3}-e_{2}}{e_{1}-e_{2}}}\,.}$

魏尔斯特拉斯函数在上述三点的值各不相同，这意味着λ函数取不到值0或1。^[3]:108

其与克莱因j函数（英语：Klein J-invariant）的关系为：^[3]:117[4]

${\displaystyle j(\tau )={\frac {256(1-\lambda (1-\lambda ))^{3}}{(\lambda (1-\lambda ))^{2}}}={\frac {256(1-\lambda +\lambda ^{2})^{3}}{\lambda ^{2}(1-\lambda )^{2}}}\ .}$

椭圆模量

λ*(x)函数的色相环复变函数图形，绘制范围在实部-3至3内、虚部-3至3内

λ*(x)函数的色相环复变函数图形，绘制范围在实部-1至1内、虚部-1至1内

有一个与模λ函数相关的函数：λ*(x)函数，其给出了椭圆模量k的值。第一类完全椭圆积分K(k)与其互补对应的${\displaystyle K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}$关系如下：

${\displaystyle {\frac {K\left[{\sqrt {1-\lambda ^{*}(x)^{2}}}\right]}{K[\lambda ^{*}(x)]}}={\sqrt {x}}}$

λ*(x)函数的函数值可透过下列式子计算：

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\frac {\vartheta _{2}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}{\vartheta _{3}^{2}[0;\exp(-\pi {\sqrt {x}})]}}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp[-(a+1/2)^{2}\pi {\sqrt {x}}]\right]^{2}\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\pi {\sqrt {x}})\right]^{-2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)=\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} [(a+1/2)\pi {\sqrt {x}}]\right]\left[\sum _{a=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (a\pi {\sqrt {x}})\right]^{-1}}$

其中${\displaystyle \vartheta }$为Θ函数。

此外λ函数与λ*(x)函数存在下列关联：

${\displaystyle \lambda ^{*}(x)={\sqrt {\lambda (i{\sqrt {x}})}}}$

所有的有理数r，${\displaystyle K\left(\lambda ^{*}(r)\right)}$与${\displaystyle E\left(\lambda ^{*}(r)\right)}$都可以视为椭圆积分的奇异值，可透过有限的伽马函数表示^[5]。

参见

• 模形式