狄利克雷原理

此条目的主题是变分法中的结论。关于组合数学中的原理，请见“抽屉原理”。

在数学中的位势论里，狄利克雷原理是关于在 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 中的某个区域 ${\displaystyle \Omega }$ 上的泊松方程

${\displaystyle \Delta u+f=0\,}$

满足边界条件

在 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上 ${\displaystyle u=g\,}$

的解 u(x) 的刻画。原理说明，u(x) 是使得狄利克雷势能

${\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

最小的几乎处处二次可导，并且在边界 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上满足 ${\displaystyle v=g}$ 的函数 ${\displaystyle v}$（如果至少存在一个函数使得以上的积分成立的话）。这个原理得名于德国数学家勒热纳·狄利克雷。

由于以上的狄利克雷积分是下有界的，因此必然存在一个下确界。黎曼和其他的数学家都认为下确界一定能够达到，直到魏尔斯特拉斯举出了一个无法达到下确界的泛函的例子。后来希尔伯特严格证明了黎曼对狄利克雷原理的使用之正当性。

证明

以下给出 ${\displaystyle g=0}$ 时的证明^[1]。假设 u 是使得

${\displaystyle E[v]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla v|^{2}-vf\right)\,\mathrm {d} x}$

最小的并且几乎处处二次可导，并且在边界${\displaystyle \partial \Omega }$上满足${\displaystyle v=0}$的函数${\displaystyle v}$，那么对于任意一个满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$，任意正实数${\displaystyle \varepsilon }$都有：

${\displaystyle E[u+\varepsilon w]=\int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u+\varepsilon \nabla w|^{2}-uf-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant \int _{\Omega }\left({\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}-uf\right)\,\mathrm {d} x}$

即

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\varepsilon \nabla u\cdot \nabla w+{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}|\nabla w|^{2}-\varepsilon wf\right)\,\mathrm {d} x\geqslant 0}$

上式左侧是一个关于${\displaystyle \varepsilon }$的二次多项式，并且在 ${\displaystyle \varepsilon =0}$ 的时候取到最小值，所以有：

${\displaystyle \int _{\Omega }\left(\nabla u\cdot \nabla w-wf\right)\,\mathrm {d} x=0}$

另一方面，由于函数 ${\displaystyle w}$ 满足边界条件，即在 ${\displaystyle \partial \Omega }$ 上满足 ${\displaystyle w=0}$，因此有：

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{\partial \Omega }w\left(\nabla u\cdot \mathbf {n} \right)\,\mathrm {d} \sigma =\int _{\Omega }\operatorname {div} \left(w\cdot \nabla u\right)\,\mathrm {d} x\\&=\int _{\Omega }\left(w\Delta u+\nabla u\cdot \nabla w\right)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }w\left(\Delta u+f\right)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

这个结果对所有满足边界条件的函数 ${\displaystyle w}$ 都成立，因此根据变分法基本引理，可以得到${\displaystyle \Delta u+f=0}$

参见

• 普拉托问题
• 格林第一公式