算表 (清华简)

算表或称清华简算表，是公元前305年战国时代的算器文物，收入《清华大学藏战国竹简（肆）》^[1]，比较早先发现的里耶秦简九九表和张家山汉简九九表文物早一个世纪^[2]。清华简《算表》获吉尼斯世界纪录大全认证为最早十进制算器^[3][4]。《算表》的发现是“中国数学史乃至世界数学史上的一项重大发现”^[5]，也使战国时期取代了《九章算术》的汉代、成为中国数学史的第一个高峰时期^[2]。

算表（局部）

算法

清华简算表共21支，竹简比较宽一些，其上书写的都是数字，容易从2500支清华简中分出来；完好的竹简共17支、长约43.5厘米，宽约1.2厘米；其中一支竹简，由下至上依次写着1/2、一、二……九、十、二十、三十……九十，是乘数简；一条竹简没有文字，却有一列穿线孔；原来捆绑竹简的丝线已无存，但孔内仍有丝织品的残迹^[6]。其他19支竹简，顶上第一竹节依次分别书写着1/2、一、二……九、十、二十、三十……九十，第二竹节无文字，有穿线孔；由上至下，从第三竹节开始，书写着乘积数。有四根竹简，顶部有残缺，但乘积数大抵完好。这套竹简，由于捆绑线无存，因此杂乱无章，经过清华大学竹简研专家研究，方才露出真容，原来是一副战国时代的二位数字十进制乘法表^[7]。《算表》的21支竹简组成一个20行、20列的十进制乘法表；能利用《算表》对二位数字（其中包含1/2）进行乘法、除法运算。《算表》的功能是九九表的扩充。

1 2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90
。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。
45	90	180	270	360	450	540	630	720	810	900	1800	2700	3600	4500	5400	6300	7200	8100	。	90
40	80	160	240	320	400	480	560	640	720	800	1600	2400	3200	4000	4800	5600	6400	7200	。	80
35	70	140	210	280	350	420	490	560	630	700	1400	2100	2800	3500	4200	4900	5600	6300	。	70
30	60	120	180	240	300	360	420	480	540	600	1200	1800	2400	3000	3600	4200	4800	5400	。	60
25	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500	1000	1500	2000	2500	3000	3500	4000	4500	。	50
20	40	80	120	160	200	240	280	320	360	400	800	1200	1600	2000	2400	2800	3200	3600	。	40
15	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	600	900	1200	1500	1800	2100	2400	2700	。	30
10	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	400	600	800	1000	1200	1400	1600	1800	。	20
5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900	。	10
4.5	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	180	270	360	450	540	630	720	810	。	9
4	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	160	240	320	400	480	560	640	720	。	8
3.5	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	140	210	280	350	420	490	560	630	。	7
3	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	120	180	240	300	360	420	480	540	。	6
2.5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	100	150	200	250	300	350	400	450	。	5
2	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	80	120	160	200	240	280	320	360	。	4
1.5	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	60	90	120	150	180	210	240	270	。	3
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	40	60	80	100	120	140	160	180	。	2
0.5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	。	1
0.25	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	。	1 2
清华简算表示意图。注： 青色部分为小九九 黄色部分为大九九

算例

用《算表》计算 22.5×35.5^[8]。

• 将22.5、35.5 分解为 20+2+1/2 和 30+5+1/2
• 在《算表》第一行找到1/2、 2、20，在《算表》第一列找到、1/2、5、30
• 找到 九个交点 数之和：(15+60+600+2.5+10+100+0.25+1+10) =798.75

1 2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90
。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。	。
45	90	180	270	360	450	540	630	720	810	900	1800	2700	3600	4500	5400	6300	7200	8100	。	90
40	80	160	240	320	400	480	560	640	720	800	1600	2400	3200	4000	4800	5600	6400	7200	。	80
35	70	140	210	280	350	420	490	560	630	700	1400	2100	2800	3500	4200	4900	5600	6300	。	70
30	60	120	180	240	300	360	420	480	540	600	1200	1800	2400	3000	3600	4200	4800	5400	。	60
25	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500	1000	1500	2000	2500	3000	3500	4000	4500	。	50
20	40	80	120	160	200	240	280	320	360	400	800	1200	1600	2000	2400	2800	3200	3600	。	40
15	30	60	90	120	150	180	210	240	270	300	600	900	1200	1500	1800	2100	2400	2700	。	30
10	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	400	600	800	1000	1200	1400	1600	1800	。	20
5	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900	。	10
4.5	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	180	270	360	450	540	630	720	810	。	9
4	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	160	240	320	400	480	560	640	720	。	8
3.5	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	140	210	280	350	420	490	560	630	。	7
3	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	120	180	240	300	360	420	480	540	。	6
2.5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	100	150	200	250	300	350	400	450	。	5
2	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	80	120	160	200	240	280	320	360	。	4
1.5	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	60	90	120	150	180	210	240	270	。	3
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	40	60	80	100	120	140	160	180	。	2
0.5	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	。	1
0.25	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	。	1 2
利用《算表》计算 22.5 × 35.5

由于乘法的交换律，在第一列找 1/2、2、20，第一行找1/2、5、30， 结果相同。

显然《算表》最多可算（1/2+1+2……+9+10+20+……90） 乘 （1/2+1+2……+9+10+20+……90）=245520.25

清华大学的古文字学家李均说《算表》是“古代一种实用的计算器”。

评价

清华简《算表》获吉尼斯世界纪录大全认证为最早十进制算器^[3][4]

中国数学史学会理事长郭书春高度评价《算表》^[9]：

《算表》的计算功能超过了以往我国发现的‘里耶秦简九九表’和‘张家界汉简九九表’等古代乘法表，为春秋战国时期是中国传统数学第一个高潮提供了佐证，使国内外否定中国古代数学成就的虚无主义态度不攻自破。

美国数学史家道本周（Joseph Dauben）说^[10]：

《算表》是世界上最早的十进制乘法表文物；这说明在战国时代已经建立发达的理论数学和实用数学。