结式

结式是数学中一个常用的不变量。考虑域 ${\displaystyle F}$ 上两个多项式 ${\displaystyle P,Q}$，设其首项系数分别为 ${\displaystyle a,b}$，则其结式定义为

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q):=a^{\deg Q}b^{\deg P}\prod _{(x,y)\in {\bar {F}}^{2}:\,P(x)=0,\,Q(y)=0}(x-y),\,}$

其中 ${\displaystyle {\bar {F}}}$ 为 ${\displaystyle F}$ 的给定代数闭包。由此定义的结式是 ${\displaystyle F}$ 的元素，而与代数闭包的选取无关。

计算方式

• 结式亦可理解为西尔维斯特矩阵的行列式。
• 为简单起见，假设 ${\displaystyle P,Q}$ 首项系数为一；若 ${\displaystyle Q}$ 是可分多项式（换言之：无重根），则定义可改写为

${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x)\,}$

此式仅依赖于 ${\displaystyle Q}$ 除以 ${\displaystyle P}$ 的余式。

• 承上，可透过辗转相除法求得结式。

性质

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)}$
• ${\displaystyle \mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)}$
• 若 ${\displaystyle P_{1}=P+R*Q}$且${\displaystyle \deg P_{1}=\deg P}$，那么${\displaystyle \mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P_{1},Q)}$。在论及计算方式时已利用此性质。
• 若 ${\displaystyle X,Y,P,Q}$ 同次，${\displaystyle X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q}$，则有

${\displaystyle \mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)}$

• ${\displaystyle \mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)}$，其中 ${\displaystyle P_{-}(z):=P(-z)}$。

应用

• 一多项式 ${\displaystyle P}$ 与其导数 ${\displaystyle P'}$的结式可由判别式 ${\displaystyle D(P)}$ 表示：设 ${\displaystyle P}$ 的首项系数为 ${\displaystyle a}$，则

${\displaystyle D(P)=(-1)^{\frac {\deg P(\deg P-1)}{2}}a^{-1}\mathrm {res} (P,P')}$。

• 在代数几何中，可用结式计算两条平面代数曲线之交。
• 在域论中，结式可用来计算范数。

外部链接

• Weisstein, Eric W. "Resultant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. （页面存档备份，存于互联网档案馆）