线性代数群

在数学中，线性代数群是指由多项式方程定义的、可逆${\displaystyle n\times n}$矩阵群中的一个子群。举例来说，正交群就是这样的一个线性代数群，它由满足关系式${\displaystyle M^{T}M=I_{n}}$的矩阵${\displaystyle M}$组成，其中${\displaystyle M^{T}}$表示${\displaystyle M}$的转置。

许多李群都可以视为定义在实数域或复数域上的线性代数群。例如，每一个紧李群都可看作定义在实数域${\displaystyle R}$上的线性代数群（其必然是${\displaystyle R}$-各向异性且为约化群）；而许多非紧群，如单李群SL(n,R)也同样属于线性代数群的范畴。

单李群的分类工作由威廉·基灵与埃利·嘉当在1880至1890年代完成。当时，人们尚未充分利用这些群可由多项式方程定义这一事实，也就是说，并未特别强调它们的代数群性质。代数群理论的奠基者包括毛雷尔（Ludwig Maurer）、克劳德·谢瓦莱与科尔欣（Kolchin）^[1]。到了1950年代，阿尔芒·博雷尔（Armand Borel）进一步系统化和完善了现代代数群理论的框架。

代数群理论最早的重要应用之一，是用来定义谢瓦莱群。

参见

• 李型群
• 外尔群
• 朗兰兹纲领
• 几何朗兰兹纲领
• 主齐性空间
• 微分伽罗瓦理论