复对数

复对数（英语：Complex logarithm）为自然对数延伸到非零复数的函数，是以下两个定义中的一个，这两个定义彼此也密切相关：

• 非零复数${\displaystyle z}$的复对数，定义为可以使${\displaystyle e^{w}=z}$的任意复数${\displaystyle w}$^[1][2]。此复数${\displaystyle w}$可以表示为${\displaystyle \log z}$^[1]。若${\displaystyle z}$以极坐标表示为${\displaystyle z=re^{i\theta }}$，其中${\displaystyle r}$和${\displaystyle \theta }$是实数，${\displaystyle r>0}$，则${\displaystyle \ln r+i\theta }$是${\displaystyle z}$的一个复对数，${\displaystyle z}$的所有复对数会是${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$，其中的${\displaystyle k}$为整数^[1][2]。对数会在复数平面上在一条垂直线上等距排列。
• 复数值函数${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$，定义在${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$集合中非零复数中的一个子集合${\displaystyle U}$，满足${\displaystyle e^{\log z}=z}$，针对${\displaystyle U}$里的所有${\displaystyle z}$。这样的复数函数类似实数的自然对数函数${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$，后者是实数指数函数的反函数，因此针对所有的正实数x，可以满足e^{ln x} = x。复对数函数可以用有关实数值函数显式公式来建立，用${\displaystyle 1/z}$的积分，或是用解析延拓的方式建立。

复对数的一个分支。其色相表示复对数的辐角（极坐标下相对原点的角度），其颜色的饱和度及亮度表示复对数的绝对值。图片的档案页中有列出其颜色对应的数值

没有在整个复数域${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$均有定义的连续复指数函数。处理此问题的方式包括分支（英语：Branch point）、相关的黎曼曲面、以及复数指数函数的部分反函数（partial inverse）。主值（principal value）定义了特定的复指数函数${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$，除了在负实数轴之外都连续。是不考虑负实数和0的复平面。这是（实数）自然对数的解析延拓。