转动群

群作为数学的重要分支之一，吸引了大量数学家的研究，又有许多为此耗以其毕生的时间。在多面体着色这一问题中，群起到非常重要的作用，特别是波利亚计数定理，其中与波利亚计数定理有密切相关的就是转动群。而下方为一些便于参考的常用的转动群的介绍。

常用的转动群

• 正四面体

正四面体有4个顶点，4个面，6条棱。，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)4	(1)4	(1)6	1
顶点-面心， ±120度	(1)1(3)1	(1)1(3)1	(3)2	8
棱心-棱心， 180度	(2)2	(2)2	(1)2(2)2	3

• 正六面体

正六面体有8个顶点，6个面，12条棱，每个面都是正四边形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)8	(1)6	(1)12	1
面心-面心， ±90度	(4)2	(1)2(4)1	(4)3	6
面心-面心，180度	(2)4	(1)2(2)2	(2)6	3
棱心-棱心，180度	(2)4	(2)3	(1)2(2)5	6
空间对角线，±120度	(3)2(1)2	(3)2	(3)4	8

• 正八面体

正八面体有6个顶点，8个面，12条棱，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)6	(1)8	(1)12	1
顶点-顶点， ±90度	(1)2(4)1	(4)2	(4)3	6
顶点-顶点，180度	(1)2(2)2	(2)4	(2)6	3
棱心-棱心，180度	(2)3	(2)4	(1)2(2)5	6
面心-面心，±120度	(3)2	(3)2(1)2	(3)4	8

• 正十二面体

正十二面体有20个顶点，12个面，30条棱，每个面都是正五边形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)20	(1)12	(1)30	1
面心-面心， ±72度，±144度	(5)4	(1)2(5)2	(5)6	24
棱心-棱心，180度	(2)10	(2)6	(1)2(2)14	15
顶点-顶点，±120度	(1)2(3)6	(3)4	(3)10	20

• 正二十面体

正二十面体有12个顶点，20个面，30条棱，每个面都是正三角形。

转动群	顶点	面	棱	个数
不动	(1)12	(1)20	(1)30	1
顶点-顶点， ±72度，±144度	(1)2(5)2	(5)4	(5)6	24
棱心-棱心，180度	(2)6	(2)10	(1)2(2)14	15
面心-面心，±120度	(3)4	(1)2(3)6	(3)10	20