连续映射定理

概率论中，连续映射定理（英语：Continuous mapping theorem）指出连续函数保持极限，即使其参数是一列随机变量。

海涅定义下的连续函数是指将收敛数列映为收敛数列的函数：如果 ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ 那么 ${\displaystyle g(x_{n})\rightarrow g(x)}$。连续映射定理指出，如果把确定的数列${\displaystyle \{x_{n}\}}$替换为一列随机变量${\displaystyle \{x_{n}\}}$，把通常的收敛定义替换为某种随机变量的收敛定义，那么这个命题依然成立。 这个定理第一次由Mann & Wald (1943) harvtxt模板错误: 无指向目标: CITEREFMannWald1943 (帮助)证明，因此有时又被称作Mann–Wald定理。^[1]

叙述

设${\displaystyle X_{n}\ (n=0,1,\ldots )}$和${\displaystyle X}$为度量空间${\displaystyle S}$中的随机元素，又设${\displaystyle g:S\to S'}$为自${\displaystyle S}$至另一个度量空间${\displaystyle S'}$的函数，其不连续点集${\displaystyle D_{g}}$满足${\displaystyle \mathbb {P} (X\in D_{g})=0}$，则：^[2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{n}\ \xrightarrow {\text{d}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{d}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\text{p}} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\text{p}} \ g(X);\\[6pt]X_{n}\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ X\quad &\implies \quad g(X_{n})\ \xrightarrow {\!\!{\text{a.s.}}\!\!} \ g(X).\end{aligned}}}$

其中箭嘴上标的d、p、a.s.分别表示依分布收敛、依概率收敛、殆必收敛。