通量

通量（英语：Flux），或称流束，是通过一个表面或一个物质的量，是一个物理学和应用数学的概念。在热学和流体力学领域中，研究输运现象时，是指在单位时间内通过单位面积的具有方向的流量，它是一个向量；在电磁学领域中，是指在单位面积上垂直于其表面的磁场或电场的强度，它是一个标量。

向量场F的场线通过具有单位法线n的表面，从n到F的角度为θ。通量是多少场通过给定表面的量度。F被分解为与n垂直（⊥）和平行（‖）的分量。只有平行分量对通量有贡献，因为它是在一个点处穿过表面的场的最大范围，垂直分量没有贡献。 上图：通过平面的三条磁力线，一条垂直于表面，一条平行，一条中间 。下图：通过曲面的磁力线，显示单位法线和表面元素的设置以计算通量。

为了计算通过表面S的矢量场F（红色箭头）的通量，将表面分成小块dS。通过每个面片的通量等于场的法线（垂直）分量，即F(x)与点x处的单位法向量n(x)（蓝色箭头）乘以面积dS的内积。 表面上每个小块的F • n, dS之和是通过表面的通量。

给定一个三维空间中的向量场${\displaystyle \mathbf {A} }$以及一个简单有向曲面${\displaystyle \Sigma }$，则向量场${\displaystyle \mathbf {A} }$通过曲面${\displaystyle \Sigma }$的通量就是曲面每一点${\displaystyle x}$上的场向量${\displaystyle \mathbf {A} (x)}$在曲面法向方向上的分量的积分:

${\displaystyle \Phi _{\mathbf {A} }(\Sigma )=\iint \limits _{\Sigma }\mathbf {A} \cdot \mathbf {n} \mathrm {d} S}$

其中${\displaystyle \mathrm {d} S}$是积分的面积元，n是Σ在点(x,y,z)处的单位法向量。如果曲面是封闭的，例如球面，那么通常约定法向量是从里朝外的，所以这时候的通量是描述曲面上的场向量朝外的程度。

术语

通量这个词源于拉丁语：fluxus 意为“流”，fluere 是“流动”的意思。而 fluxion 一词是由牛顿引入微积分。

热通量的概念是约瑟夫·傅立叶对热传递现象分析的重要贡献之一。他的重要著作《热的分析理论》（英语：The Analytical Theory of Heat）中，将 fluxion 定义为一个核心量，并推导出了现在的通量表达式。这些表达式与平板的温度差异有关，且更广义地在其他几何形状的温度梯度或温度差异有关。根据詹姆斯·克拉克·马克士威的研究，可以显示其传输的定义早于磁通量定义。马克士威的具体引言是：

In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface.
（就通量而言，我们必须以通过表面的每个通量对其表面取积分。这个操作的结果即通量的曲面积分。它呈现的是通过该表面的量。）

—— 詹姆斯·克拉克·马克士威

根据传输的定义，通量可为单一向量，也可以是位置的向量场／函数。后者的通量可以很容易地在一个表面上积分。相比之下，根据电磁学定义，通量是对表面的积分；对于第二种定义的通量进行积分是没有意义的，因为这样会对表面进行两次积分。因此，马克士威的引言只有在“通量”按照传输定义使用时才有意义（进一步来说，是向量场而不是单一向量）。这很讽刺，因为马克士威是我们现在所称的“电通量”和“磁通量”的主要发展者之一，而这些名称是根据电磁学定义来的。根据该引言（和传输定义），它们应该被称为“电通量的曲面积分”和“磁通量的曲面积分”。在这种情况下，“电通量”应定义为“电场”，“磁通量”应定义为“磁场”。这意味着马克士威将这些场视为某种形式的流动／通量。

根据电磁学定义的通量，其相应的通量密度（假设使用这个术语）指的是沿积分表面的导数。根据微积分基本定理，相应的通量密度是根据传输定义的通量。给定一个流，例如电流——每单位时间的通电量，电流密度根据传输定义也是一个通量——每单位时间每单位面积的通电量。由于通量的定义冲突，以及在非技术性英语中通量、流动和电流的互换性，本文中的所有术语有时会被互相使用且可能含义模糊。本文其余部分中具体的通量将根据其在文献中的广泛接受度来使用，无论该术语对应哪种通量的定义。

以单位面积流量表示的通量

在输送现象（热传、质传和流体动力学），通量被定义为“每单位面积的流量的流动率”，其因次组成为 量 (物理)·[时间]⁻¹·[面积]^−1[1]。这个面积是流“通过”或“穿过”的表面。例如，每秒钟流经河流横截面的水量除以横截面的面积，或是每秒钟落在地面一块区域上的阳光能量除以该区域的面积，都是通量的例子。

一般数学定义（传输）

以下是按复杂度递增的三个定义。每个定义都是下面这个的一个特例。在所有情况下，常用符号 ${\textstyle j}$（或 ${\textstyle J}$）表示通量，${\textstyle q}$ 表示流动的物理量，${\textstyle t}$ 表示时间，${\textstyle A}$ 表示面积。当且唯当这些标识符是向量时，它们将以粗体显示。

首先，通量作为一个（单一的）标量时：

$${\displaystyle j={\frac {I}{A}}}$$

其中

$${\displaystyle I=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta q}{\Delta t}}={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}}$$

在这种情况下，测量固定的通量的表面，且具有面积${\displaystyle A}$。假设该表面是平坦的，而流量在各处相对于位置是恒定的，并且垂直于表面。

其次，通量作为沿着表面定义的标量场，即作为表面上各点的函数：

$${\displaystyle j(\mathbf {p} )={\frac {\partial I}{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$$${\displaystyle I(A,\mathbf {p} )={\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ).}$$

如上所述，假设表面是平坦的，且流量在各处都垂直于表面。然而，流不需要是恒定的。此时，${\displaystyle q}$ 是 p（表面上的一个点）的函数，面积 ${\displaystyle A}$亦是。与其测量通过整个表面的总流量，不如 ${\displaystyle q}$ 测量的是以 p 为中心、沿表面上面积 A 的圆盘通过的流量。

最后，通量作为一个向量场时： $${\displaystyle \mathbf {j} (\mathbf {p} )={\frac {\partial \mathbf {I} }{\partial A}}(\mathbf {p} ),}$$ $${\displaystyle \mathbf {I} (A,\mathbf {p} )={\underset {\mathbf {\hat {n}} }{\operatorname {arg\,max} }}\mathbf {\hat {n}} _{\mathbf {p} }{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}(A,\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ).}$$

在这种情况下，我们没有固定的表面来测量。${\displaystyle q}$ 是一个点、面积和方向（由单位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 给定）的函数，并测量与该单位向量垂直的面积 A 的圆盘中的流量。${\displaystyle I}$ 的定义是选择使该点周围流量最大的单位向量，因为真正的流量在垂直于该单位向量的圆盘上达到最大值。因此，当单位向量指向流动的“真正方向”时，它唯一地最大化该函数。（严格来说，这是一种滥用符号，因为“arg max”无法直接比较向量；我们改为选择具有最大范数的向量。）

性质

这些直接的定义，尤其是最后一个，显得相对不完善。例如，从经验测度（英语：Empirical measure）来看，arg max 的构造是人工的，而使用风向标或类似工具可以简单推断出某一点的通量方向。与其直接定义向量通量，通常更直观的是陈述一些关于它的性质。此外，通量可以根据这些性质唯一确定。

若通量 j 以角度 ${\displaystyle \theta }$ 通过（${\displaystyle \theta }$为该通量与该面积法向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 形成之夹角），则其点积为：

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

也就是说，通过表面的通量分量（即垂直于表面的分量）是 ${\displaystyle j\cos {\theta }}$，而沿切向通过表面的通量分量是 ${\displaystyle j\sin {\theta }}$，但实际上没有通量沿切向通过表面。唯一通过且垂直表面的通量分量是其余弦分量。

对于向量通量，通量 j在表面 ${\displaystyle S}$上的曲面积分给出了每单位时间通过该表面的适当流量：

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }$$

其中 A（及其无穷小量）是向量面积（英语：vector area）—— ${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} }$ 的组合，结合了面积 A 的大小和垂直于该面的单位向量 ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ 。与第二组方程式不同的是，这里不需要平坦的表面。

最后，以时间区间 ${\displaystyle t_{1}}$ 到 ${\displaystyle t_{2}}$ 做积分，计算在该时间段 ${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$ 内流过表面的总量：

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \operatorname {d} \mathbf {A} \operatorname {d} \!t}$$

传输通量

八种在输送现象文献中最常见的通量定义如下：

1. 动量通量（英语：Transport phenomena#Momentum transfer）（英语：momentum flux）：单位面积上动量的传输速率 (N·s·m⁻²·s⁻¹)。（牛顿黏度定律）^[2]
2. 热通量（英语：heat flux）：单位面积上热流动的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。（傅立叶热传导定律）（也符合马克士威对热通量的原始定义。）^[3]
3. 扩散通量（英语：diffusion flux）：单位面积上分子运动的速率 (mol·m⁻²·s⁻¹)。（菲克定律）
4. 体积通量（英语：Volumetric flux）（英语：volumetric flux）：单位面积上体积流动的速率 (m³·m⁻²·s⁻¹)。（达西定律）
5. 质量通量（英语：mass flux）：单位面积上质量流动的速率 (kg·m⁻²·s⁻¹)。（质量通量可以是费克定律的另一种形式，其中包含分子质量；或者达西定律的另一种形式，其中包含密度。）
6. 辐射通量（英语：radiative flux）：单位面积、每秒从光源在特定距离处以光子形式传输的能量量 (J·m⁻²·s⁻¹)。这在天文学中用于确定恒星的星等和光谱类型。它也是热通量的一种推广，当限制在电磁频谱范围内时，辐射通量就等于热通量。
7. 能量通量（英语：energy flux）：单位面积上能量传输的速率 (J·m⁻²·s⁻¹)。辐射通量和热通量是能量通量的特例。
8. 粒子通量（英语：particle flux）：单位面积上粒子传输的速率 ([粒子数量] m⁻²·s⁻¹)。

这些通量在空间中的每一个点都是向量，具有明确的大小和方向。此外，可对任何这些通量取散度，以确定在空间中给定点周围的控制体积内该量的累积速率。对于不可压缩流，体积通量的散度为零。

化学扩散

如上所述，化学的莫耳通量在等温、等压系统中，成分 A 在菲克扩散定律中定义为：

$${\displaystyle \mathbf {J} _{A}=-D_{AB}\nabla c_{A}}$$

其中 nabla 符号 ${\displaystyle \nabla }$ 表示梯度算子，${\displaystyle D_{AB}}$ 是成分 A 透过成分 B 扩散时的扩散系数 (m²·s⁻¹)，${\displaystyle c_{A}}$ 是成分 A 的浓度 (mol/m³)。^[4]

这个通量的单位是 mol·m⁻²·s⁻¹，符合马克士威对通量的原始定义。^[3]

对于稀薄气体，分子动力学理论将扩散系数 D 与粒子密度 n=N/V、分子质量 m、碰撞截面 σ 以及绝对温度 T 联系起来，关系式如下：

$${\displaystyle D={\frac {2}{3n\sigma }}{\sqrt {\frac {kT}{\pi m}}}}$$

其中，第二个因子是平均自由径，而平方根（包含波兹曼常数 k）项 则是粒子的平均速率。

在紊流中，涡旋运动所造成的传输可以表示为一个大幅增加的扩散系数。

量子力学

主条目：几率流

在量子力学中，质量为 m 的粒子在量子态 ψ(r, t) 下，其几率幅定义为：

$${\displaystyle \rho =\psi ^{*}\psi =|\psi |^{2}}$$

因此，在微分体积元素 d³r 中找到粒子的几率是：

$${\displaystyle dP=|\psi |^{2}\,d^{3}\mathbf {r} }$$

那么，单位时间内垂直穿过截面单位面积的粒子数就是几率通量（英语：probability flux）。

$${\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi \nabla \psi ^{*}-\psi ^{*}\nabla \psi \right)}$$

有时也被称为几率流、几率流密度^[5]，或者几率通量密度^[6]。