邹赛尔数

邹赛尔数（Zeisel number）是一种无平方数因数的数，而且至少有三个质因数可以用下式表示^[1]：

${\displaystyle p_{x}=ap_{x-1}+b}$

其中 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是整数的系数，而 ${\displaystyle x}$ 为在因数分解后将质因数由小到大排列后所得的编号，另外令 ${\displaystyle p_{0}=1}$。头几个邹赛尔数是：

105, 1419, 1729, 1885, 4505, 5719, 15387, 24211, 25085, 27559, 31929, 54205, 59081, 114985, 207177, 208681, 233569, 287979, 294409, 336611, 353977, 448585, 507579, 982513, 1012121, 1073305, 1242709, 1485609, 2089257, 2263811, 2953711, … （OEIS数列A051015）.

以1729为例，1729是邹赛尔数，对应的系数是 ${\displaystyle a}$ = 1 和 ${\displaystyle b}$ = 6。其质因数7、13和19可以用下式表示：

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}=7,&{}\quad p_{1}=1p_{0}+6\\p_{2}=13,&{}\quad p_{2}=1p_{1}+6\\p_{3}=19,&{}\quad p_{3}=1p_{2}+6\end{aligned}}}$

若${\displaystyle 6m+1,12m+1,18m+1}$都是质数，则其乘积${\displaystyle (6m+1)(12m+1)(18m+1)}$会是卡迈克尔数。1729 = 7 × 13 × 19 ，是${\displaystyle m=1}$的例子，此公式也满足邹赛尔数的公式（a = 1, b = 6m），这类的数也是邹赛尔数，以下是这类同时是邹赛尔数和卡迈克尔数的例子：

1729, 294409, 56052361, 118901521, 172947529, 216821881, 228842209, 1299963601, … （OEIS数列A33502）

邹赛尔数是得名自Helmut Zeisel，建立MathPages的Kevin Brown曾经提问，除了1, 3, 7, 237以外，是否有其他整数k使得2^k−1 + k为质数，Helmut Zeisel在1994年2月25日回复，${\displaystyle k=1885}$符合此条件^[2]。Brown研究此数字，发现了一个有关质数的特性（符合a = 2, b = 3的条件），因此将这种性质的数命名为邹赛尔数。