阿基米德公理

此条目的主题是数学公理或定理。关于物理学定律，请见“阿基米德浮体原理”。

在抽象代数和分析学中，以古希腊数学家阿基米德命名的公理，是一些赋范的群、域和代数结构具有的一个性质，可表述如下：

阿基米德公理的示意图

对于任何正实数 ${\displaystyle a}$ 及 ${\displaystyle b}$，即使 ${\displaystyle a}$ 多么小，或是 ${\displaystyle b}$ 多么大，也必定存在自然数 ${\displaystyle n}$，使得 ${\displaystyle an>b}$。

这公理的粗略意义是，数字系统不存在具有无穷大或无穷小性质的元素。

这个概念源于古希腊对量的理论。由于它出现在阿基米德的《论球体和圆柱体》的公理五，1883年，奥地利数学家奥托·施托尔茨（英语：Otto Stolz）赋予它这个名字^[1]。

在现代实分析中，这性质不是一个公理，而是退却为实数具完备性的结果。基于这理由，常以性质的叫法取而代之。

此性质在现代数学中，仍然起着重要的作用，例如有关有序群、有序域和局部域的理论，以及大卫·希尔伯特的几何公理系统。

形式叙述以及证明

解释

简单地说，阿基米德性质可以认为以下二句叙述的任一句：

1. 给出任何数，你总能够挑选出一个整数大过原来的数。
2. 给出任何正数，你总能够挑选出一个整数其倒数小过原来的数。

这等价于说，对于任何正实数${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$，如果${\displaystyle a<b}$，则存在自然数${\displaystyle n}$，有

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b}$

与实数的完备性的关系

实数的完备性蕴含了阿基米德性质，证明利用了反证法：

假设对所有${\displaystyle n}$，${\displaystyle na<b}$（注意${\displaystyle na}$表示${\displaystyle n}$个${\displaystyle a}$相加），令${\displaystyle S=\{na|n=1,2,3,...\}}$，则${\displaystyle b}$为${\displaystyle S}$的上界（${\displaystyle S}$上方有界，依实数完备性，必存在最小上界，令其为${\displaystyle \alpha }$），于是${\displaystyle \forall n=1,2,3,...}$有

${\displaystyle na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a}$

得出${\displaystyle \alpha -a}$也是${\displaystyle S}$的一个上界，这与${\displaystyle \alpha }$是最小上界矛盾。这样就由实数的完备性推出了阿基米德性质，但阿基米德性质推不出实数的完备性，因为有理数满足阿基米德性质，但并不是完备的。