阿贝尔求和公式

阿贝尔求和公式是由尼尔斯·阿贝尔所发现，广泛应用于数论之中，以便用来计算级数。

恒等式

设${\displaystyle a_{n}}$为一列由实数或复数，${\displaystyle \phi }$是一个连续可导函数，则

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u}$

其中${\displaystyle A(x)}$是部分和

${\displaystyle A(x):=\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\,.}$

而且这正是对黎曼－斯蒂尔杰斯积分运用分部积分法所得到的。

更一般情况，有

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}$

例

欧拉-马斯刻若尼常数

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}}$，则${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，恒等式变为

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u,}$

因此是一种可以表示欧拉-马斯刻若尼常数的方式。

黎曼ζ函数的表示

设${\displaystyle a_{n}=1}$，${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，则${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor }$，故

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

公式在${\displaystyle \Re (s)>1}$时成立，并且可以用来推导狄利克雷定理，其断言，若以${\displaystyle \zeta }$表示黎曼ζ函数，则${\displaystyle \zeta (s)}$在s = 1处有留数为1的简单极点。

黎曼ζ函数的倒数

设${\displaystyle a_{n}=\mu (n)}$，${\displaystyle \mu }$为默比乌斯函数，且${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}}$，则${\displaystyle A(x)=M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$，故${\displaystyle A}$为梅滕斯函数，而恒等式变成

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

上式在${\displaystyle \Re (s)>1}$时成立。

参见

• 分部积分法
• 黎曼ζ函数

参考文献

• Apostol, Tom, Introduction to Analytic Number Theory, 数学大学生教材, Springer-Verlag, 1976.