离心率矢量

在航天动力学里，一个圆锥曲线的离心率矢量（英语：eccentricity vector）是一个矢量，从焦点指向近拱点，量值等于轨道的离心率标量，是个无量纲量。

计算

离心率矢量${\displaystyle \mathbf {e} \,}$ 是个大小等于轨道离心率 (eccentricity) 且方向指向近心点 (periapsis 或 pericenter) 的矢量。对开普勒轨道而言，它是个运动常数。在使用状态矢量 (${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$) 进行轨道测定或轨道决定 (orbit determination, OD) 时，它可以决定诸多与运动有关的轨道要素，如离心率 (${\displaystyle e}$) (eccentricity) 及半长轴 (${\displaystyle a}$) (semi-major axis)，并可指出近心点方向，以便计算近心点引数 ${\displaystyle \omega }$ (argument of periapsis)、真近心点离角(真近点角) ${\displaystyle \nu }$ (true anomaly)。在摄动或扰动 (perturbation) 分析时, 因为实际轨道上的摄动（非开普勒）力将使密切 (osculating) 离心率矢量不断变化，故用来分析几乎为圆形的轨道时非常有用。该矢量可以由任何时间${\displaystyle t\!\,}$的轨道状态矢量（orbital state vector）中的速度矢量${\displaystyle \mathbf {v} \!\,}$与位置矢量${\displaystyle \mathbf {r} \!\,}$计算出来^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} &={\mathbf {v} \times \mathbf {h} \over {\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\\&=\left({\mathbf {\left|v\right|} ^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|\mathbf {r} \right|}}\right)\mathbf {r} -{\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \over {\mu }}\mathbf {v} \\\end{aligned}}}$

第二个等式可以直接根据以下矢量恒等式(运算并分别集结位置和速度分量后)推导出来:

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)=\left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {r} -\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} }$

其中:

• ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 为 位置矢量 (position vector)
• ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 为 速度矢量 (velocity vector)
• ${\displaystyle \mathbf {h} \,\!}$ 为 比角动量 (specific angular momentum vector) (${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$)
• ${\displaystyle \mu \,\!}$ 为 标准重力参数 (standard gravitational parameter)。

换另一种表示方法，离心率矢量也可以由质量为${\displaystyle m\!\,}$的物体的角动量${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} (=m\,\mathbf {h} )}$计算出来：

${\displaystyle \mathbf {e} ={\mathbf {v} \times \mathbf {L} \over {m\mu }}-{\mathbf {r} \over {\left|\mathbf {r} \right|}}}$。