离散型均匀分布

在统计学及概率理论中，离散型均匀分布是一种离散型概率分布，其所有可能的观察值数量为有限整数，且每一个观察值的出现概率皆相同。

离散型均匀分布

概率质量函数 n=5 where n=b-a+1
累积分布函数
参数	${\displaystyle a\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle b\in (...,-2,-1,0,1,2,...)\,}$ ${\displaystyle n=b-a+1\,}$
值域	${\displaystyle k\in \{a,a+1,...,b-1,b\}\,}$
概率质量函数	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\ \\0&{\mbox{otherwise }}\end{matrix}}}$
累积分布函数	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}k<a\\{\frac {k-a+1}{n}}&{\mbox{for }}a\leq k\leq b\\1&{\mbox{for }}k>b\end{matrix}}}$
期望	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
中位数	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,}$
众数	N/A
方差	${\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}\,}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6(n^{2}+1)}{5(n^{2}-1)}}\,}$
熵	${\displaystyle \ln(n)\,}$
矩生成函数	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}\,}$
特征函数	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}},}$

离散型均匀分布的一个例子是掷公平骰子，其可能的观察值为1﹑2﹑3﹑4﹑5﹑6，而每一个数字的出现概率都是1/6。但若同时丢二个均匀骰子，将其值相加，就不属于离散型均匀分布，因为各个和的概率不同。

虽然离散型均匀分布常用来描述观察值为连续整数的分布，例如前述的掷骰子范例，但实际上可以在任意有限集合上定义离散型均匀分布，例如随机置换（英语：random permutation）就是由已知长度的置换中均匀随机产生的组合，而均匀生成树（英语：uniform spanning tree）则是从给定图的生成树集合中均匀随机抽样得到的生成树。

离散型均匀分布在本质上是非参数（non-parametric）的。不过，当观察值的范围恰好是区间[a,b]之间的整数时，则a和b可以被视为该分布的参数（也常常改为考虑区间[1,n]，只保留一个参数n）。若用这种表示法，针对任意k ∈ [a,b]的累积分布函数（CDF）为

${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$

最大值估计

主条目：德国坦克问题

关于离散型均匀分布的一个常见问题是德国坦克问题：假设从未知整数区间${\displaystyle [1,N]}$抽样出${\displaystyle k}$个观察值，目标是根据观察值估计未知最大值${\displaystyle N}$的可能值。此问题于二战期间被用于估计德国坦克产量。

在此问题中，最大值的均匀最小方差无偏 (UMVU) 估计量为：

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$

其中 m 是样本最大值，k 是样本大小，而且无放回抽样。 这可被看作为最大间距估计的一个非常简单的例子。

该估计量的方差为：

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$

因此，估计量的标准差大约为${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$，也就是样本之间差距的平均大小。

样本最大值${\displaystyle m}$是总体最大值的最大似然估计，然而，该方法存在偏差。

若样本没有依序编号但可被识别或标记，则可透过标志重捕法以估计族群规模。

随机排列

主条目：随机数列

有关均匀分布随机排列的固定点数量的概率分布的说明，请参阅主条目。