黎瑟尔数

黎瑟尔数（英语：Riesel number）是奇正整数k使得所有形式如k × 2ⁿ - 1的数均为合数。

1956年，Hans Riesel证明有无限多个合符这种条件的整数。他找到509203有这样的性质。现时找到小于10⁶的Riesel数有：

• 509203×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 762701×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}
• 777149×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 790841×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}
• 992077×2ⁿ-1 :{3, 5, 7, 13, 17, 241}

冒号后的质数集表示每个形式如k × 2ⁿ - 1的数都会被该集其中一个数整除。若能找出这样的集，便能证明一个数是Riesel数。

和黎瑟尔数类似的概念是谢尔宾斯基数，是奇正整数k使得所有形式如k × 2ⁿ + 1的数均为合数。

黎瑟尔问题

Hans Riesel（英语：Hans Riesel）在1956年证明有无限多个整数k使得针对任意整数n，${\displaystyle k\times 2^{n}-1}$都不是质数。他证明509203有此性质，而509203加上11184810的整数倍也有此性质^[1]。黎瑟尔问题包括找出最小的黎瑟尔数。因为还没找到k小于509203的覆盖集（英语：covering set），因此猜想509203是最小的黎瑟尔数。

为了要确认是否有k < 509203，黎瑟尔筛计划（英语：Riesel Sieve）（类似针对谢尔宾斯基数的Seventeen or Bust）开始针对101个可能的k开始计算。在2022年12月时，透过黎瑟尔筛、PrimeGrid（英语：PrimeGrid）或其他人研究，已删除57个整数^[2]。剩下的41个k值，针对所有n值产生的都是合数，这些数字是

23669, 31859, 38473, 46663, 67117, 74699, 81041, 121889, 129007, 143047, 161669, 206231, 215443, 226153, 234343, 245561, 250027, 315929, 319511, 324011, 325123, 327671, 336839, 342847, 344759, 362609, 363343, 364903, 365159, 368411, 371893, 384539, 386801, 397027, 409753, 444637, 470173, 474491, 477583, 485557, 494743.

最近消去的数字是在2024年8月发现的，Ryan Propper发现107347 × 2^23427517 − 1是质数，此数字位数有7,052,391位。

2023年1月时，PrimeGrid搜寻了剩下可能的黎瑟尔数，直到n = 14,900,000^[3]。