Jury稳定性准则

Jury稳定性准则（Jury stability criterion）是在信号处理及控制理论中，判断线性离散系统稳定性的方式，是利用分析特征多项式来进行分析。Jury稳定性准则是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的离散时间版本。Jury稳定性判据要求系统的极点都要位在以原点为圆心的单位圆内，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系统的极点在复数平面的左半边。Jury稳定性准则得名自伊拉克裔美籍工程师殷巴尔·易卜拉欣·朱瑞（英语：Eliahu Ibraham Jury）。

方法

系统的特征多项式如下

${\displaystyle f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}}$

用以下的方式来建构表格^[1]：

row	zn	zn-1	zn-2	z....	z1	z0
1	a0	a1	a2	...	an-1	an
2	an	an-1	an-2	...	a1	a0
3	b0	b1	...	bn-2	bn-1
4	bn-1	bn-2	...	b1	b0
5	c0	c1	...	cn-2
6	cn-2	cn-3	...	c0
...	...	...	...	...	...	...
2n-5	p3	p2	p1	p0
2n-4	p0	p1	p2	p3
2n-3	q2	q1	q0

因此，第一行是多项式的系数，从常数项次而高次项次排列，第二行则是第一行的反序。

第三行是将第一行减去第二行乘以${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$，而第四行是第三行的反序（并且维持最后一个元素为零）。

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}}$

表格继续往下延伸，直到有一行只有一个非零元素为止。

针对头两行相减的系数是${\displaystyle {\frac {a_{n}}{a_{0}}}}$，针对第三行及第四行相减的系数就变成${\displaystyle {\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}}$，因此所得的多项式会少一项。

稳定性测试

若${\displaystyle {a_{0}}>0}$，而${\displaystyle {a_{0}}}$,${\displaystyle {b_{0}}}$,${\displaystyle {c_{0}}}$...都是正值，表示系统的根都在单位圆内，系统稳定。只要上述有任何一个小于零，表示系统至少有一个根都在单位圆外，系统不稳定。

若Jury稳定性准则发现${\displaystyle {a_{0}}}$,${\displaystyle {b_{0}}}$,${\displaystyle {c_{0}}}$...中有一个为负值，即可结束测试，因为至少有一个根都在单位圆外，系统不稳定。

程式实现

此方式用电脑的动态阵列很容易实现。也可以确认系统所有的根（实根或是复数根）都在单位圆内。向量v是原多项式的系数，从最高项次到常数项。

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for(i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if(v.size()==1) break;
         }

         // Check is done using
         for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
         {
              if(vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if(i==vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

范例

若已知${\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )}$的分母多项式为${\displaystyle \mathrm {A} (\mathrm {z} )={\color {Blue}4z^{4}}-{\color {Brown}4z^{3}}+{\color {Brown}2z^{1}}-1}$，判断该系统是否稳定。
解答:因为${\displaystyle \mathrm {A} (1)=4-4+2-1=1>0}$
${\displaystyle (-1)^{4}\mathrm {A} (-1)=4+4-2-1=5>0}$
将${\displaystyle \mathrm {A} (z)}$的系数排列成朱利表(如下):

row	z4	z3	z2	z1	z0
1	4	-4	0	2	-1
2	-1	2	0	-4	4
3	15	-14	0	4
4	4	0	-14	15
5	209	-210	56

且${\displaystyle 4>\left|-1\right|}$
${\displaystyle 15>\left|4\right|}$
${\displaystyle 209>\left|56\right|}$
即满足Jury稳定条件，因此${\displaystyle {\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )}$所有极点位于${\displaystyle \left|z\right|<1}$内，故系统是稳定的。

相关条目

• 林纳德–奇帕特判据：由劳斯–赫尔维茨稳定性判据产生的另一个连续系统稳定性判据。