拉东变换

数学上，拉东变换（又称雷登变换）是一种积分变换，这个变换将二维平面函数${\displaystyle f}$变换成一个定义在二维空间上的一个线性函数${\displaystyle {\cal {R}}f}$(${\displaystyle {\cal {R}}f}$的意思是对${\displaystyle f}$做拉东变换)，而${\displaystyle {\cal {R}}f}$的值为函数${\displaystyle f}$对该条线${\displaystyle {\cal {R}}f}$做积分的值。以右图为例，黄色区域即是${\displaystyle f}$，${\displaystyle A}$线则是代表${\displaystyle {\cal {R}}f}$。

拉东变换将函数 ${\displaystyle f(x,y)}$ 映射到${\displaystyle f(\alpha ,s)}$。

本图是将下图做拉东变换后得到的影像，越亮的区域代表值越大，黑色的区域为0。

原始函数是白色区域为1，黑色区域为0。

拉东变换是约翰·拉东在公元1917年提出^[1]，他也同时提出拉东变换的反变换公式，以及三次空间的拉东变换公式。 三次空间拉东变换，是对一个平面积分(对线积分则是X射线变换（英语：X-ray_transform）)。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间的拉东变换被提出，更详尽的广义拉东变换要参见Integral geometry（英语：Integral_geometry）。 在复数上有和拉东变换相似的Penrose变换（英语：Penrose_transform），拉东变换被广泛的应用在断层扫描，拉东反变换可以从断层扫描的剖面图重建出投影前的函数。

简介

若函数${\displaystyle f}$表示一个未知的密度，对${\displaystyle f}$做拉东变换，相当于得到${\displaystyle f}$投影后的讯号，举例来说：${\displaystyle f}$相当于人体组织，断层扫描的输出讯号相当于经过拉东变换的${\displaystyle f}$。 因此，可以用拉东反变换从投影后的密度函数，重建原始的密度函数，它也是重建断层扫描的数学理论基础，另一个被广为人知名词的是三维重建。

拉东变换后的讯号称作正弦图（sinogram），因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对一些小点的拉东变换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数重叠在一起。

拉东变换可以应用在：X射线电脑断层扫描、条码扫描器、大分子装配（英语：Macromolecular_assembly）（Macromolecular assembly）的电子显微镜（例如：病毒、蛋白质复合体）、反射地震学，而且也是双曲线偏微分方程的解。

定义

令密度函数${\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}$是一个的定义域为 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$ 的紧支撑。令${\displaystyle {\cal {R}}}$为拉东变换的运算子(operator)，则${\displaystyle {\cal {R}}f(x,y)}$是一个定义在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$空间中的直线${\displaystyle L}$，它的定义如下

${\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}$

可以把直线 ${\displaystyle L}$改写成一个弧长${\displaystyle z}$的参数式

${\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}$

${\displaystyle s}$是直线${\displaystyle L}$和原点的距离，而${\displaystyle \alpha }$是垂直于${\displaystyle L}$的法线和${\displaystyle x}$轴的夹角， 接下来，我们可以令${\displaystyle (\alpha ,s)}$当作${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$平面上的新坐标系统，把这个坐标变换带入到拉东变换得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}$

更进一步，我们可以把${\displaystyle {\bf {R}}^{2}}$推广到${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的欧几里得空间，对一个紧支撑的连续函数${\displaystyle f}$做拉东变换后的函数${\displaystyle {\cal {R}}f}$是定义在 ${\displaystyle \Sigma _{n}}$的超平面上，

${\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \Sigma _{n}}$

积分的对象是自然超平面测度(natural hypersurface measure)，而${\displaystyle d\Delta }$是原本的${\displaystyle |d{\bf {x}}|}$的高维推广。可以观察到对${\displaystyle \Sigma _{n}}$里的任意元素， 都是某个轨迹方程式的解

${\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}$

而${\displaystyle \alpha }$是一个单位向量且属于${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}$，${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$，n维的拉东变换可以改写成定义在 ${\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}$上的函数

${\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

也可以借由其他方式将拉东变换推广，也就是对${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的k维仿射子空间作(k-dimensional affine subspaces)积分。 而这种推广拉东变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描，他的做法是对一条直线积分。

与傅里叶变换的关系

主条目：投影切片定理

拉东变换和傅里叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅里叶变换的定义是

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}$

而双变数${\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}$的傅里叶变换是

${\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}$

把拉东变换的运算子的表记从${\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}$ 改成 ${\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}$。根据投影切片定理学说，

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha )),\quad \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

因此一个初始函数沿着一条线倾角${\displaystyle \alpha }$的二维的傅里叶变换，相当于对拉东变换做一维的傅里叶变换。这个结果可以推广到n维

${\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}$

对偶变换

对偶拉东变换是拉东变换的埃尔米特伴随。令在空间${\displaystyle \Sigma _{n}}$上的函数${\displaystyle g}$，而对偶拉东变换的运算子定义为${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$。作用在${\displaystyle g}$上

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}$

积分的范围是所有和${\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}$相交的超平面集合，而测度(measure)${\displaystyle d\mu }$是集合${\displaystyle \xi |x\in \xi }$特殊的概率测度(Probability measure)， 当对着${\displaystyle x}$旋转时，${\displaystyle d\mu }$的值不会改变

对于一个二维的拉东变换，其对偶变换是

${\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }$

在影像处理的文章中，对偶变换经常被称作反向投影(back-projection) ^[2]，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

交结性质

根据拉普拉斯算子${\displaystyle \Delta }$在 ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$的定义是

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}$

这是一个旋转不变性的二阶微分算子，在空间${\displaystyle \Sigma _{n}}$，半径的二阶导数

${\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}$

也是旋转不变性。 而拉东变换与其对偶变换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为

${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}$

重建方法

重建处理是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数${\displaystyle f}$。重建处理是一种逆问题(inverse problem)。

拉东反变换公式

对于二维拉东变换，最常被使用的解析公式(analytical formula)${\displaystyle f}$，是Filtered Backprojection Formula或拉东反变换公式，反变换公式为

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }$ ^[3]

函数${\displaystyle h}$满足${\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}$^[4]，卷积核 (convolution kernel) ${\displaystyle h}$在一些文章中称作Ramp filter。

不适定问题 (ill-posedness)

直觉上，反变换公式应该和微分类似，${\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}$。我们可以看的出来反变换公式 的行为类似微分。大致上来说，这个反变换公式把目标奇异化(singular)；要如何量化拉东反转化的不适定问题 (ill-posedness)呢？首先可以写出

${\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}$

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}}$即是前面定义的反变换运算子，且伴随着(adjoint to)拉东变换，因此${\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$，上式变成

${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$

复数指数函数${\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}$，是${\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}$的本征函数 (eigenfunction) ， 而特征值 (eigenvalue)为${\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}$。${\displaystyle {\cal {R}}}$的奇异值 (singular values) 是${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}$， 因为这些奇异值 (singular values)会趋近于0，所以${\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}$是无界的(unbounded) ^[4]。

反变换公式

外显(explicit)且计算效率好的拉东反变换公式，以及他的对偶是存在的。n维的反拉东变换可以由^[5]

${\displaystyle c_{n}f=(-\Delta )^{(n-1)/2}{\cal {R}}^{*}\{{\cal {R}}f\}}$

其中

${\displaystyle c_{n}=(4\pi )^{(n-1)/2}{\frac {\Gamma (n/2)}{\Gamma (1/2)}}}$

而${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子(Laplacian)，${\displaystyle (-\Delta )^{(n-1)/2}}$是伪微分算子(pseudodifferential operator)

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[(-\Delta )^{(n-1)/2}\phi \right](\xi )=|2\pi \xi |^{n-1}{\mathcal {F}}\phi (\xi ).}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是傅里叶变换的运算子(operator)。

参见

• 反卷积
• X-ray变换（英语：X-ray transform）
• Funk变换（英语：Funk transform）
• 霍夫变换
• 迭代稀疏渐近最小方差算法