二次无理数

数论上，二次无理数（quadratic irrational）是某些有理数系数的一元二次方程的根。若将所有系数乘以分母的最小公倍数，即可将系数变换为整数。因此所有二次无理数都可以表示成${\displaystyle {\frac {a+b{\sqrt {c}}}{d}}}$

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

其中

${\displaystyle a,b,c,d}$为整数，

${\displaystyle c}$是无平方数约数的数

${\displaystyle d}$不为零。

若c为正数，所得的是实二次无理数，若c为负数，所得的是复二次无理数。二次无理数是可数集。

1770年，拉格朗日证明一个数字能表示成循环连分数，当且仅当此数为实二次无理数^[1]。例如${\displaystyle {\sqrt {3}}=1.732\ldots =[1;1,2,1,2,1,2,\ldots ]}$。

外部链接

• 计算二次无理数的连分数形式（页面存档备份，存于互联网档案馆）

文内注释

1. Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.