{\displaystyle C} 上连续可微,则当且仅当 u {\displaystyle u} 和 v {\displaystyle v} 的偏微分满足柯西-黎曼方程组(1a)和(1b), f = u + i v {\displaystyle f=u+iv} 是全纯的 柯西-黎曼方程常常表述为其他形式。首先,它们可以写成复数形式:
v}{\partial y}}dy;,w+{\frac {\partial w}{\partial z}}dz} 利用一个体积微元质量守恒,可得出以下液体动力学的连续性方程(对不可压缩流体)。 ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0 {\displaystyle {\frac {\partial