置換的奇偶性
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在數學中,當X是一個至少有兩個元素的有限集合時,X的置換(即從X到X的雙射)可分為大小相同的兩類:奇置換與偶置換。如果X固定了任何一個全序,X的一個置換的奇偶性可以定義為中反向對個數的奇偶性。所謂反向對即X中二元組使得且。這裡為置換中第位的元素。
一個置換的符號(sign或signature)記作sgn(σ):如果是偶數則定義為 +1,如果是奇數則定義為 -1。符號定義了對稱群Sn的交錯特徵。置換的符號另一個更一般的符號為列維-奇維塔符號(),定義在X到X的所有映射上,而在非雙射映射上取值為0。
置換的符號可以清晰地表達為
這裡是中反向對的個數。或者,置換的符號也可通過對換分解定義為
這裡m是分解中對換的個數。儘管這樣一個分解不是惟一的,所有分解中對換個數的奇偶性是相同的,蘊含著置換的符號是良定義的。