哈密頓-雅可比方程式
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在物理學裏,哈密頓-雅可比方程式 (Hamilton-Jacobi equation,HJE) 是古典力學的一種表述。哈密頓-雅可比方程式、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學,這幾個表述是互相全等的。而哈密頓-雅可比方程式在辨明守恆的物理量方面,特別有用處。有時候,雖然物理問題的本身無法完全解析,哈密頓-雅可比方程式仍舊能夠正確的辨明守恆的物理量。
HJE 是古典哈密頓量一個正則變換,經過該變換得到的結果是一個一階非線性偏微分方程式,方程式之解描述了系統的行為。與哈密頓運動方程式的不同之處在於 HJE 是一個偏微分方程式,每個變量對應於一個坐標,而哈密頓方程式是一個一階線性方程組,每兩個方程式對應於一個坐標。HJE 可以漂亮地解析一些重要問題,例如克卜勒問題。
HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此,HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標(早至 18 世紀,約翰·白努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代);那就是,尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似;但並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從古典力學進入量子力學最近的門階。