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數學分支無窮元組合學(infinitary combinatorics),又稱組合集合論(combinatorial set theory),是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年,本分支的開展的研究還有:連續統上的組合學[1]、奇異基數後繼上的組合學[2]。
設為序數,為基數,為正整數。Erdős & Rado (1956)引入記號
作為下列命題的速記:
若將所有元子集的集合,分劃為份,則有一份包含序型為的同質集。
所謂同質集,意思是的子集,且其所有元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法:
若有種色,並將的每個元子集,各染一種色,則必有序型為的同色集,即其所有元子集皆同色。
當為時,可省略不寫。
假設選擇公理(AC),則不存在序數使得。此即上段取有限的原因。雖然不允許為無窮大,但仍可以同時考慮任意大的。符號
表示命題「若將的所有有限子集染成種色,則有序型為的子集,使得其對每個,的所有元子集皆同色。」(但不同的之間,無需同色。)同樣,當為時,可省略不寫。
還有變式: 表示「若將的所有元子集染成紅、藍兩色,則或有序型為的子集,其所有元子集皆為紅,或有序型為的子集,其所有元子集皆為藍。」
可以此記號表示的命題有:(下設為基數)
在無選擇(choiceless,即選擇公理不成立)的宇集中,上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理(AD)的推論,例如,當勞·馬丁證明,AD推出
一些大基數性質是用拉姆齊性質定義,如:
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