算術-幾何平均數維基百科,自由的 encyclopedia 兩個正實數 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算術-幾何平均數定義如下: 首先計算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 算術平均數(相加平均),稱其為 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。然後計算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 幾何平均數(相乘平均),稱其為 g 1 {\displaystyle g_{1}} ;這是 x y {\displaystyle xy} 的算術平方根。 a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.} 然後重複這個步驟,這樣便得到了兩個數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} : a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.} 這兩個數列收斂於相同的數,這個數稱為 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算術-幾何平均數,記為 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ,或 a g m ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)} 。
兩個正實數 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算術-幾何平均數定義如下: 首先計算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 算術平均數(相加平均),稱其為 a 1 {\displaystyle a_{1}} 。然後計算 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 幾何平均數(相乘平均),稱其為 g 1 {\displaystyle g_{1}} ;這是 x y {\displaystyle xy} 的算術平方根。 a 1 = x + y 2 {\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}} g 1 = x y . {\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.} 然後重複這個步驟,這樣便得到了兩個數列 { a n } {\displaystyle \{a_{n}\}} 和 { g n } {\displaystyle \{g_{n}\}} : a n + 1 = a n + g n 2 {\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}} g n + 1 = a n g n . {\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.} 這兩個數列收斂於相同的數,這個數稱為 x {\displaystyle x} 和 y {\displaystyle y} 的算術-幾何平均數,記為 M ( x , y ) {\displaystyle M(x,y)} ,或 a g m ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {agm} (x,y)} 。