σ環

σ環 （英語：Sigma ring），是指在可列並運算和相對補集運算下封閉的非空集合。

定義

設 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是非空集合。若 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 滿足下列性質，則稱其為σ環：

1. 對可列並運算封閉： ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$，若對一切 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ 滿足${\displaystyle A_{n}\in {\mathcal {R}}}$
2. 對相對補集運算封閉： ${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}}$，若 ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$

性質

1. σ環對可列交運算封閉：$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {R}}}$$其中${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ 為 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 中的元素。這是由於：$${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=A_{1}\setminus \bigcup _{n=2}^{\infty }\left(A_{1}\setminus A_{n}\right)}$$

2. 一切σ環都是δ環，但並非所有δ環都是σ環。

相關概念

如果將σ環定義中的可列並運算弱化為有限並運算，即對任意${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$ 滿足 ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$，則可推出 ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ 是環（但不是σ環）。

參考文獻