一階偏微分方程

一階偏微分方程是只和未知數的一階導數有關的偏微分方程，其型式如下

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}$

以下的應用會用到一階偏微分方程：建構雙曲型偏微分方程的特徵曲面、變分法、一些幾何問題，以及一些解有用到特徵線法的氣體動力學簡單模型。若可以找到一階偏微分方程的解族，可以透過建立解族的包絡線來找到其他的解。

通解及全積分

一階偏微分方程的通解是指其中包括待定常數的解。若一階偏微分方程中的待定常數和自變數一樣多，此解則稱為全積分（complete integral）。以下有n個參數的解族

${\displaystyle u=\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

若滿足${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$的條件，即為全積分^[1]。

波方程的特徵曲面

波方程本身是二階偏微分方程，而其特徵曲面為滿足以下方程的等值曲面

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

若令${\displaystyle u_{t}=1}$，對一般性的影響不大，此時u滿足

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

用方量的表示方式，令

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

解族的特徵曲面可以表示為

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

其中

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

若x和x₀不變，此解的包絡線可以由找到半徑1/c圓球上的點，且u值為定值的點來求得。若${\displaystyle {\vec {p}}}$平行${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$，此條件會成立。因此，包絡線為

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

這個解對應一個半徑會以速度c膨脹或是收縮的圓球。這也是在時空下的光錐。

此方程的初值問題會包括給定t=0 時，u=0 的等值曲面S。這可以由找到所有中心在S上，半徑以速度c膨脹或是收縮的圓球包絡面來求得。包絡面可以由下式求得

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

若${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$和S垂直，上式就會成立，因此包絡線對應和S垂直，速度為c的運動，這也就是Huygens波前建立法：S上的每一點在t=0時發射一個球狀波，較晚時間t的波前就是這些球狀波的包絡線。S的法向量即為光線。