角錐數

角錐數是以多邊形為底，側面為三角形的稜錐所代表的數。角錐數常常是指四角錐數，也就是底部為正方形的角錐數，不過也可以指其底邊為其他多邊形的角錐數^[1]。以四角錐數為例，四角錐ａ是數個正方形數的和。可以將角錐數延伸到更大的維度。

四角錐數1 + 4 + 9 + 16 = 30.的圖示

公式

第n個r角錐數的公式為

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},}$

其中r ∈ ${\displaystyle \mathbb {N} }$，r ≥ 3^[2]。

可以將上述公式分解為下式：

${\displaystyle P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},}$

其中T_n是第n個三角形數。

舉例

頭幾個三角錐數（也就是四面體數）是：

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, ... （OEIS數列A000292）

頭幾個四角錐數是：

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, ... （OEIS數列A000330）.

頭幾個五角錐數是：

1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126 （OEIS數列A002411）.

頭幾個六角錐數是：

1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 （OEIS數列A002412）.

頭幾個七角錐數是^[3]

1, 8, 26, 60, 115, 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... （OEIS數列A002413）.