三分之一角公式

三分之一角公式，為三角恆等式的一種，是三等分角問題在代數上的一個解。由於該解不一定是規矩數因此也可以證明三等分角尺規作圖的不可行性^[1] 。

尺規作圖

尺規作圖三等分角已被證實不可行，其也與三分之一角公式非規矩數的推導有關，其證明如下：設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是${\displaystyle \theta }$的角，均可以由尺規作圖得到 角度為${\displaystyle {\frac {\theta }{3}}}$的角。這等價於說在已知單位長度和${\displaystyle \cos {\theta }}$的時候能做出${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}}$的長度。設L是包含了${\displaystyle \cos {\theta }}$和單位長度1的域。用尺規作圖可以得到${\displaystyle z=\cos {\frac {\theta }{3}}}$，說明域擴張的階數是2的冪次：

${\displaystyle [\mathrm {L} (z):\mathrm {L} ]=2^{s}}$

然而根據三倍角公式：

${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {\theta }{3}}=4z^{3}-3z}$。

運用多項式的知識可以證明，${\displaystyle z}$在L中的最小多項式的階數必定不大於3，也就是說是1，2或者3^[1]:512。比如說當角度${\displaystyle \theta =60^{\circ }}$時，L就是${\displaystyle \mathbb {Q} }$（${\displaystyle \cos {\theta }={\frac {1}{2}}\in \mathbb {Q} }$）三倍角公式變成：

${\displaystyle 4z^{3}-3z=\cos {60^{\circ }}={\frac {1}{2}}}$，即是：

${\displaystyle 8z^{3}-6z-1=0}$

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集${\displaystyle \mathbb {Q} }$，所以可以證明${\displaystyle [\mathbb {Q} (z):\mathbb {Q} ]=3}$。^[2]然而3不是2的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分^[1]:525-526。${\displaystyle \Box }$

而上述三次方程透過三次方程求根公式^[3]求出來的解即為三分之一角公式。

公式

• 利用三倍角公式
• ${\displaystyle \sin 3\theta =3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta \,}$
• ${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$

把它改為：

• ${\displaystyle \sin \theta =3\sin {\frac {\theta }{3}}-4\sin ^{3}{\frac {1}{3}}\theta \,}$
• ${\displaystyle \cos \theta =4\cos ^{3}{\frac {\theta }{3}}-3\cos {\frac {1}{3}}\theta \,}$

把${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}\,}$當成未知數，${\displaystyle \cos \theta \,}$當成常數項，解一元三次方程式即可求出

• ${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$
• ${\displaystyle x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• ${\displaystyle x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當-90°≤${\displaystyle \theta \,}$≤90°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當90°≤${\displaystyle \theta \,}$≤450°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{1}={\frac {1}{2{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}{2}}\,}$
• 當450°≤${\displaystyle \theta \,}$≤630°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{3}=-{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$
• 當630°≤${\displaystyle \theta \,}$≤990°時${\displaystyle \sin {\frac {1}{3}}\theta =x_{2}=-{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{4{\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}}){\sqrt[{3}]{-\sin \theta +{\sqrt {\sin ^{2}\theta -1}}}}}{4}}\,}$

簡化

利用歐拉公式可以有效地簡化三分之一角公式

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{n}}=\Re \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{n}}=\Im \left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}\right)={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{n}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{n}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

所以

${\displaystyle \cos {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}+{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{3}}={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos \theta +i\sin \theta }}-{\sqrt[{3}]{\cos \theta -i\sin \theta }}\right)}$

參見

• 三等分角