三十二元數

在數學中，三十二元數（英語：Trigintaduonion）是指32個維度的代數系統^[2]。較常見的定義是透過將十六元數套用凱萊-迪克森構造生成的32維代數系統^[3]。這種代數系統不是可除代數，且不具備交換律和結合律。^[1]

三十二元數
符號	${\displaystyle \mathbb {T} }$[1]
種類	非結合代數
單位	${\displaystyle e_{0}}$、 ${\displaystyle e_{1}}$、......、 ${\displaystyle e_{30}}$ 及${\displaystyle e_{31}}$
乘法單位元	${\displaystyle e_{0}}$
主要性質	冪結合性 含零因子
數字系統
${\displaystyle \mathbb {N} }$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 有理數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 四元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {T} }$ 三十二元數
閱 論 編

性質

以凱萊-迪克森構造生成的三十二元數本身包含了十六元數、八元數、四元數、複數和實數，也就是說實數包含於複數、複數包含於四元數、四元數包含於八元數、八元數包含於十六元數、十六元數包含於三十二元數。

${\displaystyle \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} \subset \mathbb {T} \subset \cdots }$

其中${\displaystyle \mathbb {T} }$為三十二元數。後面仍能持續推廣為六十四元數、一百二十八元數等。^[1]

乘法表

高維超複數的乘法表可以透過低維超複數的乘法表推廣以產生，因此三十二元數的乘法表有一部份與十六元數、八元數的乘法表相同，其餘部分能透過推廣的方式計算得出，甚至六十四元數、一百二十八元數的乘法表也皆是已知的。^[4]這些乘法表中的元素通常是單位，可稱為基元，基元的數量則決定了超複數的維度^[5]:89

三十二元數的乘法表十分龐大，可以參見文獻中的附表^[4][1]。具體執行三十二元數乘法的過程需要1024次實數乘法和992次實數加法。^[6]

高維代數結構

三十二元數之上還有六十四元數、一百二十八元數等，其維數皆是二的次方。^[4]

六十四元數

六十四元數共有1個實元素和63個虛元素單位。其乘法表的結構可以以這63個虛元素單位作為點，形成651個三元組。^[7]如同八元數的法諾平面（英語：Fano plane）7個虛元素單位構成7條線，六十四元數的651個三元組都可以看做一條線，每條線通過3個頂點，每個點連接31條線，並同構於PG(5,2)。^[8]:20

參見

• 凱萊-迪克森結構
• 十六元數
• 超複數