三段論

三段論在傳統邏輯中，是在其中一個命題（結論）必然地從另外兩個命題（叫做前提）中得出的一種推論。這個定義是傳統的，可以寬鬆地從亞里斯多德的《前分析（英語：Prior Analytics）》Book I, c. 1中推出來。希臘語「sullogismos」的意思是「演繹」。對傳統意義上的三段論的詳細描述參見直言三段論。^[1]

三段論由三個部分組成：大前提、小前提和結論。邏輯上，結論是於小前提之上應用大前提得到的。大前提是一般性的原則，小前提是一個特殊陳述。

正式定義

在數理邏輯裡，三段論證可以能代表：(若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 都為合式公式)

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$

也就是一個元定理，事實上是演繹定理的直截結果。

但另一方面，若

${\displaystyle {\mathcal {A}},\,{\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$

成立，則也會被稱為以 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 為前提，${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 為結論的三段論證。

範例

亞里斯多德給出的經典的「Barbara」三段論：^[2]

如果所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$

並且所有希臘人（G）都是人（M），（小前提）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]}$

那麼所有希臘人（G）都是必死的（D）。（結論）：${\displaystyle \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$

嚴謹地說，這段論證宣稱

${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)],\,\forall x[G(x)\Rightarrow M(x)]\vdash \forall x[G(x)\Rightarrow D(x)]}$

這個論證會正確，是基於

${\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}\vdash {\mathcal {A}}}$

和

${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}},\,{\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}}\vdash {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {C}}}$

還有普遍化：（若變數${\displaystyle x}$在${\displaystyle \Gamma }$裡的所有合式公式中，都不自由）

若 ${\displaystyle \Gamma \vdash {\mathcal {A}}}$ ，那就會有 ${\displaystyle \Gamma \vdash \forall x{\mathcal {A}}}$

另一方面，含常數符號(特殊個體)的例子如

所有人（M）都是必死的（D），（大前提）：${\displaystyle \forall x[M(x)\Rightarrow D(x)]}$

蘇格拉底（S）是人（M），（小前提）：${\displaystyle M(S)}$

蘇格拉底是必死的。（結論）：${\displaystyle D(S)}$

上面的例子也可以抽換成

(所有)金屬可以導電，（大前提）

銅是金屬，（小前提）

銅可以導電。（結論）

有效性

與之相對的是隱喻，它組織叫做肯定後件的一種形式的三段論，是邏輯謬論：

草（P）會死（M）.

人（S）會死（M）.

人（S）是草（P）.

Barbara三段論涉及文法和邏輯類型；它有一個主詞（比如蘇格拉底）和一個謂詞（必死的）。肯定後件，是隱喻的基礎。這種形式的三段論是邏輯上無效的。

三段論也可以是無效的，如果它們有四個項或者中項不周延。

歸納論證（epagoge）是依賴於歸納推理的弱三段論。

24論式圖示

下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。

格	A ∧ A		A ∧ E				A ∧ I		A ∧ O		E ∧ I
	AAA	AAI	AEE	AEO	EAE	EAO	AII	IAI	AOO	OAO	EIO
1	Barbara	Barbari			Celarent	Celaront	Darii				Ferio
2			Camestres	Camestros	Cesare	Cesaro			Baroco		Festino
3		Darapti				Felapton	Datisi	Disamis		Bocardo	Ferison
4		Bamalip	Calemes	Calemos		Fesapo		Dimatis			Fresison

參見

• 文氏圖