三線坐標

平面幾何中，一點關於給定三角形的三線坐標描述了它到三角形三條邊的相對距離。三線坐標是齊次坐標的一個例子，經常簡稱為三線。

例子

內心有三線${\displaystyle 1:1:1}$，這就是說，從三角形${\displaystyle ABC}$的內心到邊${\displaystyle BC}$、${\displaystyle CA}$、${\displaystyle AB}$的有向距離和實際距離有序三元組${\displaystyle (r,r,r)}$成比例，這裡${\displaystyle r}$是三角形${\displaystyle ABC}$內切圓的半徑。注意到記號${\displaystyle x:y:z}$用比例冒號區分三線和實際有向距離。實際距離有序三元組${\displaystyle (kx,ky,kz)}$，能從比例${\displaystyle x:y:z}$得到，利用面積關係不難算得

${\displaystyle k={\frac {2\sigma }{ax+by+cz}},}$

這裡${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$分別是邊長${\displaystyle BC}$、${\displaystyle CA}$、${\displaystyle AB}$，${\displaystyle \sigma =ABC}$的面積。（「逗號記法」應該避免使用。因為記號${\displaystyle (x,y,z)}$意味著是一個有序三元組，不允許${\displaystyle (x,y,z)=(2x,2y,2z)}$之類運算；然而「比號記法」允許${\displaystyle x:y:z=2x:2y:2z}$。）

設${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$不僅表示三角形的頂點，也是在相應頂點的角。一些熟知點的三線如下：

• ${\displaystyle A=1:0:0}$
• ${\displaystyle B=0:1:0}$
• ${\displaystyle C=0:0:1}$
• 內心 ${\displaystyle =1:1:1}$
• A-旁心${\displaystyle =-1:1:1}$
• B-旁心 ${\displaystyle =1:-1:1}$
• C-旁心 ${\displaystyle =1:1:-1}$
• 外心 ${\displaystyle =\cos A:\cos B:\cos C}$
• 垂心 ${\displaystyle =\sec A:\sec B:\sec C}$
• 九點圓圓心 ${\displaystyle =\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)}$
• 重心 ${\displaystyle =bc:ca:ab={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=\csc A:\csc B:\csc C}$
• 類似重心 ${\displaystyle =a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C}$

注意到，內心一般不是重心，重心有重心坐標1:1:1（它們和實際有向面積${\displaystyle BGC}$、${\displaystyle CGA}$、${\displaystyle AGB}$成比例，這裡${\displaystyle G=}$重心）。

公式

利用三線坐標可將許多代數方法運用於三角形幾何。比如，三點

${\displaystyle P=p:q:r}$

${\displaystyle U=u:v:w}$

${\displaystyle X=x:y:z}$

是共線的，若且唯若行列式：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{bmatrix}}}$

等於0。這性質的對偶是三條直線

${\displaystyle p\alpha +q\beta +r\gamma =0}$

${\displaystyle u\alpha +v\beta +w\gamma =0}$

${\displaystyle x\alpha +y\beta +z\gamma =0}$

交於一點（若無窮遠點，即平行）若且唯若${\displaystyle D=0}$。

另外可算得三角形${\displaystyle PUX}$的面積${\displaystyle =KD}$，這裡${\displaystyle K={\frac {abc}{8\sigma ^{2}}}}$，如果${\displaystyle PUX}$和${\displaystyle ABC}$ 定向相同，定向相反則${\displaystyle K=-{\frac {abc}{8\sigma ^{2}}}}$。

許多三次曲線用三線容易表示。比如，中樞自等共軛三次曲線Z（U,P），作為點X的軌跡使得X的P-等共軛點位於直線UX上，由行列式方程

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\\qryz&rpzx&pqxy\\u&v&w\end{bmatrix}}=0}$

確定。一些有名的三次曲線Z（U,P）：

Thomson三次曲線：Z（X（2）,X (1))，這裡X (2) = 重心，X (1) = 內心

Feuerbach三次曲線：Z（X（5）,X (1))，這裡X (5) = 費爾巴哈點

Darboux三次曲線：Z（X（20）,X (1))，這裡X (20) = De Longchamps點（英語：De Longchamps point）

Neuberg三次曲線：Z（X（30）,X (1))，這裡X (30) = 歐拉無窮遠點

坐標變換

一點具有三線${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$，則重心坐標為${\displaystyle a\alpha :b\beta :c\gamma }$，這裡${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$是三角形三條邊長。相反地，重心坐標為${\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }$的點有三線${\displaystyle {\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}}$。

三線坐標和2維笛卡爾坐標之間存在轉換公式。給定一個參考三角形${\displaystyle ABC}$，將頂點B的位置表示成一個笛卡爾坐標的有序組，將其代數地寫成一個以頂點${\displaystyle C}$為起點的向量a。類似地定義頂點${\displaystyle A}$為b。然後任何點${\displaystyle P}$關於參考三角形${\displaystyle ABC}$能定義一個2維笛卡爾坐標系，寫成向量p = αa + βb。如果點${\displaystyle P}$有三線坐標${\displaystyle x:y:z}$，那麼變換公式是：

${\displaystyle x:y:z={\frac {\beta }{a}}:{\frac {\alpha }{b}}:{\frac {1-\alpha -\beta }{c}},}$

反過來，

${\displaystyle \alpha ={\frac {by}{ax+by+cz}},\,\beta ={\frac {ax}{ax+by+cz}}.}$

外部連結

• 三線坐標（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）Mathworld
• 三角形特殊點百科- ETC Clark Kimberling；包含三角形中3200多個特殊點的三線坐標（以及重心坐標）。