自然密度

自然密度（英語：natural density），又稱漸進密度（英語：asymptotic density），是數論中度量自然數子集大小的工具之一。

簡介

以平方數集和自然數集的大小關係為例：

平方數集與自然數集都是可數無窮集，我們能夠在兩個集合間建立一一映射（對於任意的自然數${\displaystyle n}$都可以找到對應的平方數${\displaystyle n^{2}}$與之對應，反之亦然），即兩個集合是等勢的。

然而，這種基於基數的大小比較違反了自然數多於平方數的直觀認識，因為所有平方數都是自然數，而卻有許多自然數不是平方數，且隨著自然數的增大平方數會變得越來越稀少。通過將這種度量集合大小的直覺嚴格化，可以得到自然密度這一概念。

考慮自然數的一個子集${\displaystyle A}$和整數區間${\displaystyle [1,n]}$：

如果從整數區間${\displaystyle [1,n]}$中隨機選取一個整數，那麼這個整數屬於${\displaystyle A}$的概率應該等於${\displaystyle A}$與整數區間${\displaystyle [1,n]}$的交集中的所有元素在整數區間${\displaystyle [1,n]}$中的占比。當${\displaystyle n}$趨近於無窮時，若上述概率也趨近於某個極限，則將該極限定義為${\displaystyle A}$的自然密度。

${\displaystyle A}$的自然密度也可以被理解為：任取一個自然數，該自然數屬於${\displaystyle A}$的概率。

自然密度（以及一些其他類型的密度）也是概率數論（英語：Probabilistic number theory）的研究對象。

與施尼勒爾曼密度不同，並不是任何自然數的子集都有自然密度。這是自然密度的一個不足之處。

定義

對於一個自然數集的子集${\displaystyle A}$，當${\displaystyle n}$趨向於無窮時，若${\displaystyle A}$中不大於${\displaystyle n}$的元素個數與${\displaystyle n}$的比值收斂到${\displaystyle \alpha }$，則稱${\displaystyle A}$的自然密度為${\displaystyle \alpha }$。

更進一步，若定義${\displaystyle a(n)}$為${\displaystyle A}$里不大於${\displaystyle n}$的元素個數，那麼命題「${\displaystyle A}$的自然密度為${\displaystyle \alpha }$」等效於：

${\displaystyle {\frac {a(n)}{n}}\to \alpha }$，當${\displaystyle n\to \infty }$^[1]

從定義中可以看出，若${\displaystyle \alpha }$是某個集合${\displaystyle A}$的自然密度，則一定有${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$。

上自然密度

設${\displaystyle A}$ 是自然數集${\displaystyle \mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}}$的一個子集。對任何${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，定義${\displaystyle A(n)=\{1,2,\ldots ,n\}\cap A}$，${\displaystyle a(n)=|A(n)|}$。

則${\displaystyle A}$的上自然密度（英語：upper asymptotic density）為：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

其中${\displaystyle \limsup }$是上極限。 ${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$也可簡稱為${\displaystyle A}$的上密度。 

下自然密度

同樣地，定義A的下自然密度（英語：lower asymptotic density）為：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$

自然密度的其他定義方法

1. 由上自然密度和下自然密度的定義，我們也可以說${\displaystyle A}$的自然密度${\displaystyle d(A)}$是：

若${\displaystyle {\overline {d}}(A)={\underline {d}}(A)}$，則${\displaystyle d(A)}$等於${\displaystyle {\overline {d}}(A)}$（或${\displaystyle {\underline {d}}(A)}$ ） 。

2. 自然密度的定義還可以表示為：

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}$（若極限存在）^[2]

3. 可以證明，下述命題也是自然密度的定義：

若將自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$的子集${\displaystyle A}$寫作一個遞增數列：

${\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots ;n\in \mathbb {N} \}}$

那麼

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},}$

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$

${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}}}$（若極限存在）

推廣

一個稍弱的密度定義是 上Banach密度（英語：upper Banach density）。對於${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$，定義${\displaystyle d^{*}(A)}$為：

${\displaystyle d^{*}(A)=\limsup _{N-M\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap \{M,M+1,\ldots ,N\}|}{N-M+1}}}$

性質

• 若對於集合${\displaystyle A}$存在${\displaystyle d(A)}$，則對於其補集${\displaystyle A^{\complement }}$，${\displaystyle d(A^{\complement })=1-d(A)}$成立。
• 若${\displaystyle d(A)}$，${\displaystyle d(B)}$及${\displaystyle d(A\cup B)}$均存在，則${\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}}$成立。
• 自然數集的自然密度為${\displaystyle 1}$，即${\displaystyle d(\mathbb {N} )=1}$成立。
• 對於自然數集的任意有限子集${\displaystyle F}$, 有${\displaystyle d(F)=0}$成立。
• 對於平方數集${\displaystyle A=\{n^{2};n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)=0}$成立。
• 對於偶數集${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)=0.5}$成立。更一般地，對於等差級數組成的集合${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \}}$，有${\displaystyle d(A)={\frac {1}{a}}}$成立。
• 對於質數集合${\displaystyle P}$，由質數定理知：${\displaystyle d(P)=0}$成立。
• 無平方數因數的數的集合的自然密度為${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}}$。更一般地，無${\displaystyle n}$次方因數的數的集合的自然密度為${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (n)}}}$，其中${\displaystyle \zeta (n)}$是黎曼ζ函數。
• 過剩數集合具有非零的自然密度^[3]。Marc Deléglise在1998年證明了過剩數和完全數的集合的自然密度在0.2474與0.2480之間^[4]。
• 所有在二進制表示法中位數為奇數的自然數的集合，即${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\}}$，不存在自然密度。這是因為該集合的上自然密度不等於下自然密度。

其上自然密度為：

${\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}}}$

而其下自然密度為：

${\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}}$

• 同樣，所有十進制表示法中以${\displaystyle 1}$開頭的自然數的集合也不具有自然密度。其上自然密度為${\displaystyle {\frac {5}{9}}}$而其下自然密度為${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$。^[1]
• 對區間[0,1]上的任意Equidistributed序列（英語：equidistributed sequence）${\displaystyle \{\alpha _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$，定義單調集族${\displaystyle \{A_{x}\}_{x\in [0,1]}}$:

${\displaystyle A_{x}:=\{n\in \mathbb {N} \,:\,\alpha _{n}<x\}}$

則依定義有：

對於任意的${\displaystyle x}$，${\displaystyle d(A_{x})=x}$。

• 若${\displaystyle S}$有正的上自然密度，則塞邁雷迪定理表明${\displaystyle S}$包含了任意長度的等差數列。Furstenberg–Sárközy定理（英語：Furstenberg–Sárközy theorem）表明，${\displaystyle S}$內一定存在差為平方數的兩個元素。

其他密度函數

用類似的方法可以定義出自然數集上的其他密度函數。 例如，集合${\displaystyle A}$的對數密度（英語：logarithmic density）可以定義為：

${\displaystyle \mathbf {\delta } (A)=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\in A,n\leq x}{\frac {1}{n}}}$（若極限存在）

同樣也可以定義對應的上對數密度和下對數密度。

相關條目

• 狄利克雷密度（英語：Dirichlet density）
• 施尼勒爾曼密度

參考

• Nathanson, Melvyn B. Elementary Methods in Number Theory. Graduate Texts in Mathematics 195. Springer-Verlag. 2000. ISBN 0387989129. Zbl 0953.11002.
• Niven, Ivan. The asymptotic density of sequences. Bulletin of the American Mathematical Society. 1951, 57: 420–434 [2018-10-18]. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9. （原始內容存檔於2020-08-21）.
• Steuding, Jörn. Probabilistic number theory (PDF). 2002 [2014-11-16]. （原始內容 (PDF)存檔於December 22, 2011）.
• Tenenbaum, Gérald. Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 46. Cambridge University Press. 1995. Zbl 0831.11001.