不可及數

不可及數（Untouchable Number）是指無法表示為任何一個正整數（包括它自己）的全部真因數之和的正整數。

比如5就是不可及數。將5分解為含有1且全部加數均不重複的形式只有5=1+4一種；由於其它的分解方式均含相同的數或不含1，故5是不可及數。

相反的，4就不是不可及數，因為4可以表示為1+3，這是9的正因子（不考慮9本身）的和，因此4不是不可及數。

在線數列百科OEIS的A005114數列展示了遞增排列的不可及數：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

歷史

關於不可及數的最早研究歷史至少可以追溯到大約公元1000年伊本·塔希爾·巴格達迪的研究，其發現2和5都是不可及數。^[1][2]

艾狄胥·帕爾證明了不可及數有無窮多個。

性質

• 人們相信5應該是不可及數中唯一的奇數，但這尚未獲得證明。可以由稍強化的哥德巴赫猜想^[3]得到此推論。如果這個猜想成立，那麼除了2和5，不可及數都應該是合數。

• 完全數顯然不是不可及數：完全數正好等於自身所有因子之和。

• 梅森數顯然不是不可及數：2的冪的真因數和正好等於梅森數。

• 質數進位由1組成的純位數顯然不是不可及數：質數冪的真因數和等於質數進位由1組成的純位數。

• 不可及數不可能比質數多1：顯然任何質數p的平方的因子之和為p+1。

• 不可及數不可能比質數多3：顯然任何質數p的2倍的因子之和為p+3。

參見

• 真因數和