中山引理

在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。

陳述

它的眾多等價陳述之一如下：

引理（中山正）。設${\displaystyle R}$為含單位元的交換環，${\displaystyle I}$為一理想，${\displaystyle M}$為有限生成${\displaystyle R}$-模。若${\displaystyle IM=M}$，則存在${\displaystyle r\in R}$滿足${\displaystyle r\equiv 1{\pmod {I}}}$且${\displaystyle rM=0}$。

推論

推論一。在上述條件下，若${\displaystyle I}$包含於${\displaystyle R}$的Jacobson根，則必然有${\displaystyle M=0}$。

推論二. 若${\displaystyle N}$是${\displaystyle M}$的子模，且存在有限生成的${\displaystyle M}$的子模${\displaystyle N'}$及包含於${\displaystyle R}$的Jacobson根的理想${\displaystyle I}$，使得${\displaystyle M=N+IN'}$，則${\displaystyle M=N}$。

文獻

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.