中心化矩陣

數學和多元變量統計中，中心化矩陣^[1]指對稱冪等矩陣，且當其與向量相乘時，效果等用於從向量的每個分量中減去分量的平均值。

定義

大小為n的中心化矩陣是n×n的

${\displaystyle C_{n}=I_{n}-{\tfrac {1}{n}}J_{n}}$

其中${\displaystyle I_{n}\,}$是單位矩陣，${\displaystyle J_{n}}$是n×n一矩陣。例如

${\displaystyle C_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}}$,

${\displaystyle C_{2}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0\\0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{2}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1\\1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{array}}\right]}$ ,

${\displaystyle C_{3}=\left[{\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]-{\frac {1}{3}}\left[{\begin{array}{rrr}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrr}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}&{\frac {2}{3}}\end{array}}\right]}$

性質

給定長為n的列向量${\displaystyle \mathbf {v} \,}$，${\displaystyle C_{n}\,}$的中心性可表為

${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} =\mathbf {v} -({\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} )J_{n,1}}$

其中${\displaystyle J_{n,1}}$是值全為1的列向量，${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}J_{n,1}^{\textrm {T}}\mathbf {v} }$是${\displaystyle \mathbf {v} \,}$的分量的平均值。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是正半定對稱陣。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是冪等矩陣，所以${\displaystyle C_{n}^{k}=C_{n}\ (k=1,2,\ldots )}$。均值被移除的話它就是零，再次移除也沒有任何影響。
• ${\displaystyle C_{n}\,}$是奇異矩陣/不可逆矩陣。應用${\displaystyle C_{n}\,\mathbf {v} }$變換的效果無法逆轉。
• ${\displaystyle C_{n}\,}$具有重數為n-1的特徵值1與重數為1的特徵值0

• ${\displaystyle C_{n}\,}$沿向量${\displaystyle J_{n,1}}$有維度為1的零空間。

• ${\displaystyle C_{n}\,}$是正交投影矩陣。也就是說${\displaystyle C_{n}\mathbf {v} }$是${\displaystyle \mathbf {v} \,}$在n-1維線性子空間上的投影，其與零空間${\displaystyle J_{n,1}}$正交（這是所有分量和為0的n向量構成的子空間）。
• ${\displaystyle C_{n}}$的跡是${\displaystyle n(n-1)/n=n-1}$。

應用

雖然與中心化矩陣相乘並不是去除向量均值的有效計算方法，但卻是一種方便的分析工具。它不僅可用來去除單個向量的均值，還可去除存儲在m×n矩陣${\displaystyle X}$的行或列中多個向量的均值。

左乘${\displaystyle C_{m}}$將從n列的每一列減去相應的均值，這樣積${\displaystyle C_{m}\,X}$的每列的均值都是0。相似地，右乘${\displaystyle C_{n}}$會從每行減去相應的均值，這樣積${\displaystyle X\,C_{n}}$的每行均值都為0。兩側均乘：${\displaystyle C_{m}\,X\,C_{n}}$將產生行列均值均為0的矩陣。

中心化矩陣提供了一種表示散布矩陣的方法：對數據樣本${\displaystyle X\,}$，有${\displaystyle S=(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })(X-\mu J_{n,1}^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }}$，其中${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{n}}XJ_{n,1}}$是樣本均值。有了中心化矩陣，可以將散布矩陣更簡潔地表示為

${\displaystyle S=X\,C_{n}(X\,C_{n})^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }=X\,C_{n}\,X\,^{\mathrm {T} }.}$

${\displaystyle C_{n}}$是多項分布的協方差矩陣，在特殊情況下分布參數為${\displaystyle k=n}$，${\displaystyle p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n}}}$。