乘積法則

關於組合數學的計數原理，請見「乘法原理」。

乘積法則（英語：Product rule），也稱積定則、萊布尼茲法則，是數學中關於兩個函數的積的導數的一個計算法則。

若已知兩個可導函數${\displaystyle f,g}$及其導數${\displaystyle f',g'}$，則它們的積${\displaystyle fg}$的導數為：

${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}$

這個法則可衍生出積分的分部積分法。

萊布尼茲的發現

人們將這個法則的發現歸功於萊布尼茲，以下是他的論述：設${\displaystyle u(x)}$和${\displaystyle v(x)}$為${\displaystyle x}$的兩個可導函數。那麼，${\displaystyle uv}$的微分是：

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u\cdot v)&{}=(u+du)\cdot (v+dv)-u\cdot v\\&{}=u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv.\end{aligned}}}$

由於${\displaystyle du\cdot dv}$的可忽略性（法語：Négligeabilité），因此有：

${\displaystyle d(u\cdot v)=v\cdot du+u\cdot dv\,}$

兩邊除以${\displaystyle dx}$，便得：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u\cdot v)=v\cdot {\frac {du}{dx}}+u\cdot {\frac {dv}{dx}}}$

若用拉格朗日符號來表達，則等式記為

${\displaystyle (u\cdot v)'=v\cdot u'+u\cdot v'.\,}$

例子

• 假設我們要求出${\displaystyle f(x)=x^{2}\sin(x)}$的導數。利用乘積法則，可得${\displaystyle f'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x)}$（這是因為${\displaystyle x^{2}}$的導數是${\displaystyle 2x}$，${\displaystyle \sin(x)}$的導數是${\displaystyle \cos(x)}$）。
• 乘積法則的一個特例，是「常數因子法則」，也就是：如果${\displaystyle c}$是實數，${\displaystyle f(x)}$是可微函數，那麼${\displaystyle cf(x)}$也是可微的，其導數為${\displaystyle (c\times f)'(x)=c\times f'(x)}$。
• 乘積法則可以用來推出分部積分法和除法定則。

證明一：利用面積

假設

${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

且${\displaystyle f}$和${\displaystyle x}$在x點可導。那麼：

${\displaystyle h'(x)=\lim _{w\to x}{h(w)-h(x) \over w-x}=\lim _{w\to x}{f(w)g(w)-f(x)g(x) \over w-x}.\qquad \qquad (1)}$

現在，以下的差

${\displaystyle f(w)g(w)-f(x)g(x)\qquad \qquad (2)}$

是圖中大矩形的面積減去小矩形的面積。

這個區域可以分割為兩個矩形，它們面積的和為：

${\displaystyle f(x){\Bigg (}g(w)-g(x){\Bigg )}+g(w){\Bigg (}f(w)-f(x){\Bigg )}.\qquad \qquad (3)}$

因此，(1)的表達式等於：

${\displaystyle \lim _{w\to x}\left(f(x)\left({g(w)-g(x) \over w-x}\right)+g(w)\left({f(w)-f(x) \over w-x}\right)\right).\qquad \qquad (4)}$

如果(5)式中的四個極限都存在，則(4)的表達式等於：

${\displaystyle \left(\lim _{w\to x}f(x)\right)\left(\lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}\right)+\left(\lim _{w\to x}g(w)\right)\left(\lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}\right).\qquad \qquad (5)}$

現在：

${\displaystyle \lim _{w\to x}f(x)=f(x)\,}$

因為當${\displaystyle w\rightarrow x}$時，${\displaystyle f(x)}$不變；

${\displaystyle \lim _{w\to x}{g(w)-g(x) \over w-x}=g'(x)}$

因為${\displaystyle g}$在x點可導；

${\displaystyle \lim _{w\to x}{f(w)-f(x) \over w-x}=f'(x)}$

因為${\displaystyle f}$在x點可導；以及

${\displaystyle \lim _{w\to x}g(w)=g(x)\,}$

因為${\displaystyle g}$在x點連續（可導的函數一定連續）。

現在可以得出結論，(5)的表達式等於：

${\displaystyle f(x)g'(x)+g(x)f'(x).\,}$

證明二：使用對數

設${\displaystyle f=uv}$，並假設${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$是正數。那麼：

${\displaystyle \ln f=\ln u+\ln v.\,}$

兩邊求導，得：

${\displaystyle {1 \over f}{d \over dx}f={1 \over u}{d \over dx}u+{1 \over v}{d \over dx}v}$

把等式的左邊乘以${\displaystyle f}$，右邊乘以${\displaystyle uv}$，即得：

${\displaystyle {d \over dx}f=v{d \over dx}u+u{d \over dx}v.}$

證明三：使用導數的定義

設 ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x),\,}$

且${\displaystyle f}$和${\displaystyle g}$在x點可導。那麼：

${\displaystyle h'(x)=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {h(x+\Delta {x})-h(x)}{\Delta {x}}}=\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})g(x+\Delta {x})-f(x)g(x+\Delta {x})+f(x)g(x+\Delta {x})-f(x)g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {[f(x+\Delta {x})-f(x)]\cdot g(x+\Delta {x})+f(x)\cdot [g(x+\Delta {x})-g(x)]}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =\lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {f(x+\Delta {x})-f(x)}{\Delta {x}}}\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}g(x+\Delta {x})+\lim _{\Delta {x}\to 0}f(x)\cdot \lim _{\Delta {x}\to 0}{\frac {g(x+\Delta {x})-g(x)}{\Delta {x}}}}$

${\displaystyle =f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$.

推廣

• 若有${\displaystyle n}$個函數${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{n}}$，則：

${\displaystyle \left({\prod _{k=1}^{n}{f_{k}}}\right)^{\prime }=\sum _{k=1}^{n}{\left({f'_{k}\cdot \prod _{j=1 \atop j\neq k}^{n}{f_{j}}}\right)}}$

• （萊布尼茲法則）若${\displaystyle f,g}$均為可導${\displaystyle n}$次的函數，則${\displaystyle fg}$的${\displaystyle n}$次導數為：

${\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}$

其中${\displaystyle {n \choose k}}$是二項式係數。

應用

乘積法則的一個應用是證明以下公式：

${\displaystyle {d \over dx}x^{n}=nx^{n-1}}$

其中${\displaystyle n}$是一個正整數（該公式即使當${\displaystyle n}$不是正整數時也是成立的，但證明需要用到其它方法）。我們用數學歸納法來證明這個公式。如果${\displaystyle n=1}$，${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=1=1x^{1-1}}$

假設公式對於某個特定的${\displaystyle k}$成立，那麼對於${\displaystyle k+1}$，我們有：

${\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}x^{k+1}&{}={d \over dx}\left(x^{k}\cdot x\right)\\\\&{}=x{d \over dx}x^{k}+x^{k}{d \over dx}x\\\\&{}=x\left(kx^{k-1}\right)+x^{k}\cdot 1\\\\&{}=(k+1)x^{k}.\end{aligned}}}$

因此公式對於${\displaystyle k+1}$也成立。

參見

• 除法定則
• 倒數定則
• 鏈式法則
• 分部積分法