二元運算

二元運算是種數學運算，它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西，即元數為2的運算。比如說，兩個整數的加法是二元運算，因整數相加以後仍然是整數。

定義

二元運算的定義 — 一個集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元運算是一個定義域是 ${\displaystyle A\times A}$ 、對應域 ${\displaystyle A}$ 的函數。

如果從集合 ${\displaystyle A}$ 對自己的笛卡兒積 （也就是 ${\displaystyle A\times A}$ ）取出的任意 ${\displaystyle (a,\,b)}$ ，都會對應 ${\displaystyle A}$的某個值 ${\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)}$ ，那對應規則 ${\displaystyle \mathrm {F} }$ 的本身就被稱為二元運算。

${\displaystyle \mathrm {F} (a,\,b)}$ 通常寫為 ${\displaystyle a\mathrm {F} b}$ ，而且比起使用字母，二元運算時常以某種運算符表示，來跟普通的函數作區別。

事實上 ${\displaystyle \mathrm {F} :A\times A\rightarrow A}$ 這個記號本身就保證了：「只要 ${\displaystyle a,\,b\in A}$ 就會有 ${\displaystyle a\mathrm {F} b\in A}$ 」，這個性質也稱為（二元）運算封閉性。

常用性質和術語

關於二元運算有很多常見的性質和術語，列舉如下：

單位元素

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元運算，${\displaystyle e\in A}$，則：

• 稱 ${\displaystyle e}$ 為一個 ${\displaystyle A}$ 的左單位元素，若 ${\displaystyle e}$ 滿足：${\displaystyle \forall a\in A,e\circ a=a}$；
• 稱 ${\displaystyle e}$ 為一個 ${\displaystyle A}$ 的右單位元素，若 ${\displaystyle e}$ 滿足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ e=a}$；
• 稱 ${\displaystyle e}$ 為 ${\displaystyle A}$ 的單位元素，若 ${\displaystyle e}$ 既是左單位元素、又是右單位元素。

反元素

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上帶有單位元素 ${\displaystyle e}$ 的二元運算， ${\displaystyle a,a'\in A}$ 。則：

• 稱 ${\displaystyle a'}$ 是一個 ${\displaystyle a}$ 的左反元素，若 ${\displaystyle a,a'}$ 滿足： ${\displaystyle a'\circ a=e}$。
• 稱 ${\displaystyle a'}$ 是一個 ${\displaystyle a}$ 的右反元素，若 ${\displaystyle a,a'}$ 滿足： ${\displaystyle a\circ a'=e}$。
• 稱 ${\displaystyle a'}$ 是 ${\displaystyle a}$ 的反元素，若 ${\displaystyle a'}$ 既是 ${\displaystyle a}$ 的左反元素、又是 ${\displaystyle a}$ 的右反元素。這種情況下 ${\displaystyle a'}$ 常被寫作 ${\displaystyle a^{-1}}$ 或 ${\displaystyle -a}$ 。

零元素

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元運算， ${\displaystyle z\in A}$ ，則：

• 稱 ${\displaystyle z}$ 為一個左零元素，若 ${\displaystyle z}$ 滿足： ${\displaystyle \forall a\in A,z\circ a=z}$ ；
• 稱 ${\displaystyle z}$ 為一個右零元素，若 ${\displaystyle z}$ 滿足： ${\displaystyle \forall a\in A,a\circ z=z}$ ；
• 稱 ${\displaystyle z}$ 為零元素，若 ${\displaystyle z}$ 既是左零元素、又是右零元素。

零因子

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的帶有零元素 ${\displaystyle z}$ 的二元運算， ${\displaystyle a\in A}$ 且 ${\displaystyle a\neq z}$ 。則：

• 稱 ${\displaystyle a}$ 是一個左零因子，若 ${\displaystyle a}$ 滿足： ${\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\}}$ ，使得 ${\displaystyle a\circ b=z}$ 。
• 稱 ${\displaystyle a}$ 是一個右零因子，若 ${\displaystyle a}$ 滿足： ${\displaystyle \exists b\in A\setminus \{z\}}$ ，使得 ${\displaystyle b\circ a=z}$ 。
• 稱 ${\displaystyle a}$ 是一個零因子，若 ${\displaystyle a}$ 既是左零因子、又是右零因子。

交換律

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元運算，則： 稱 ${\displaystyle \circ }$ 滿足交換律，若：${\displaystyle \forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a}$；

結合律

設 ${\displaystyle \circ :A\times A\to A}$ 是集合 ${\displaystyle A}$ 上的二元運算，則： 稱 ${\displaystyle \circ }$ 滿足結合律，若： ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}$；

消去律

設${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元運算，則：

稱${\displaystyle \circ }$滿足左消去律，若${\displaystyle \circ }$滿足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}c\circ a\neq c\circ b}$

稱${\displaystyle \circ }$滿足右消去律，若${\displaystyle \circ }$滿足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A,{\text{if }}a\neq b,{\text{then }}a\circ c\neq b\circ c}$

稱${\displaystyle \circ }$滿足消去律，若${\displaystyle \circ }$同時滿足左消去律與右消去律。

冪等律

設${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元運算，則： 稱${\displaystyle \circ }$滿足冪等律，若${\displaystyle \circ }$滿足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=a}$；

冪么律

設${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元運算，i是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的單位元素， 則：稱${\displaystyle \circ }$滿足冪么律，若${\displaystyle \circ }$滿足：${\displaystyle \forall a\in A,a\circ a=i}$（顯然此時每個元素都是它自己的反元素）；

冪零律

設${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的二元運算，z是${\displaystyle A}$在${\displaystyle \circ }$下的零元素， 則：稱${\displaystyle \circ }$滿足冪零律，若${\displaystyle \circ }$滿足：${\displaystyle \forall a\in A}$，有${\displaystyle a\circ a=z}$（顯然此時每個元素都是零元素，而且既是左零元素又是右零元素）；

分配律

設${\displaystyle \circ }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$和${\displaystyle \diamond }$: ${\displaystyle A\times A\to A}$是集合${\displaystyle A}$上的兩個二元運算，則：

• 稱${\displaystyle \circ }$對${\displaystyle \diamond }$ 滿足左分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 滿足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle a\circ (b\diamond c)=(a\circ b)\diamond (a\circ c)}$；
• 稱${\displaystyle \circ }$對${\displaystyle \diamond }$ 滿足右分配律，若${\displaystyle \circ }$，${\displaystyle \diamond }$ 滿足：${\displaystyle \forall a,b,c\in A}$，有${\displaystyle (b\diamond c)\circ a=(b\circ a)\diamond (c\circ a)}$；
• 稱${\displaystyle \circ }$對${\displaystyle \diamond }$ 滿足分配律，若${\displaystyle \circ }$對${\displaystyle \diamond }$ 同時滿足左分配律和右分配律。