二年級之夢

二年級之夢(sophomore's dream)是約翰·白努利於1697年發現的兩條有趣的數學恆等式。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\frac {1}{x^{x}}}\,\mathrm {d} x&=\quad \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}&&\scriptstyle {(=1.29128599706266354040728259059560054149861936827\dots })\\\int _{0}^{1}x^{x}\,\mathrm {d} x&=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}&&\scriptstyle {(=0.78343051071213440705926438652697546940768199014\dots })\end{aligned}}}$$

名稱來自於與之相對的一年級之夢，也就是「 (x + y)ⁿ = xⁿ + yⁿ 」。兩個夢都帶有數學嚇人的簡單表達方式，然而一年級之夢為錯誤的方程式，因為只要將 ${\displaystyle n=2}$ 帶入就會發現無法形成等式；但是二年級之夢卻是正確的式子。

證明

在座標上，兩公式的關係。

第一條公式，首先利用對數轉換和積分與級數順序變化^[1]：

• 對數轉換 ${\displaystyle x^{-x}=e^{-x(\ln x)}}$
• 指數函數的泰勒展開式 ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

得到 ${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-x\ln x)^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}*x^{n}}{n!}}\,dx.}$

在上式中我們利用了冪級數的均勻收斂性，以交換求和運算及積分運算

設 ${\displaystyle u=-(n+1)\ln x}$

則 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {(-\ln x)^{n}x^{n}}{n!}}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{\infty }^{0}{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(-e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du}$

再設 ${\displaystyle v=(n+1)u}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{n}e^{-nu}}{n!}}(e^{-u})\,du=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv}$

根據Γ函數， ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\Gamma (n+1)=n!}$

最終推得 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!(n+1)^{n+1}}}\int _{0}^{\infty }v^{n}e^{-v}\,dv=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{n+1}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{n}}}}$ 若則積函數為${\displaystyle x^{x}}$，則可用同法推得${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(n+1)^{n+1}}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n^{n}}}}$

關聯條目

• 菲涅耳積分