二项式级数

二項式級數是二項式定理的推廣，適用於冪不是正整數的情況：

${\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{\infty }\!{\binom {\alpha }{k}}x^{k}\\&=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}}x^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

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當${\displaystyle \alpha }$是任意複數時，右側的冪級數可以用二項式係數表示。

${\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}.}$

二項式級數是函數的泰勒級數。 ${\displaystyle f(x)=(1+x)^{\alpha }}$當${\displaystyle |x|<1}$ 時，它會收斂。

如果α是非負整數n，則級數中的第x^{n + 1}項及之後的所有項均為0 。在這種情況下，該級數是一個有限多項式。

參考來源

• Abel, Niels, Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m − 1)/1.2)x² + (m(m − 1)(m − 2)/1.2.3)x³ + ..., Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1826, 1: 311–339
• Coolidge, J. L., The Story of the Binomial Theorem, The American Mathematical Monthly, 1949, 56 (3): 147–157, JSTOR 2305028, doi:10.2307/2305028