傳播子

在量子力學以及量子場論中的傳播子（propagator；核子，kernel），是描述粒子在特定時間由一處移動到另一處的機率幅，或是粒子以特定能量及動量移動的機率幅。傳播子也是場的運動方程的格林函數。物理學家使用核子計算費曼圖以及散射過程的概率。

量子力學

自由粒子（波包）的核子是^[1]

${\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}~.}$

量子諧振子的Mehler核子（英語：Mehler kernel）^[2][3][4]

${\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)~.}$

通過泛函積分，核子等於

${\displaystyle K(x,x';t,t')=\int Dx(t)\ \exp(i\int _{t}^{t'}L(x,{\dot {x}};t)\ dt)}$

${\displaystyle x(t)=x,\ x(t')=x'}$

L是拉氏量。

量子場論

克萊因-戈爾登方程

克戈場論（Klein-Gordon）的Feynman傳播子

${\displaystyle {\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.}$

據黃教授說，這是^[5]

${\displaystyle G_{\mathrm {F} }(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}={\begin{cases}-{\dfrac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\dfrac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\text{ if }}s\geq 0\\-{\dfrac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\text{if}}s<0.\end{cases}}}$

H是漢克爾函數，K是貝索函數，δ是狄拉克δ函數，${\displaystyle s^{2}=x^{\mu }x_{\mu }}$。

Feynman傳播子使用下面的曲線積分（contour integral，留數定理）

Feynman傳播子也等於下面的真空期望值：

${\displaystyle G_{F}(x-y)=-i\langle 0|T\phi (x)\phi (y)|0\rangle }$

${\displaystyle =-i\langle 0|\theta (x^{0}-y^{0})\phi (x)\phi (y)+\theta (y^{0}-x^{0})\phi (y)\phi (x)|0\rangle }$

上面T是路徑排序算子，${\displaystyle \theta }$是單位階躍函數。

狄拉克方程

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }.}$

${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$

傳播子也是格林函數

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)}$

這描述費米子、電子。

量子電動力學和其他楊-米爾斯場論

主條目：規範場論

光子傳播子是

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.}$

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}+i\epsilon }}+{\frac {k_{\mu }k_{\nu }/m^{2}}{k^{2}-m^{2}/\lambda +i\epsilon }}.}$

${\displaystyle D_{\mu \nu }(k)={\frac {-i}{k^{2}+i\epsilon }}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})}$

也閱讀FP鬼子，給予膠子傳播子或楊米爾斯傳播子：

${\displaystyle \langle A_{\mu }^{a}(x)A_{\nu }^{b}(y)\rangle =D_{\mu \nu }(x-y)^{ab}=\int {\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}{\frac {-ie^{-ik(x-y)}}{k^{2}+i\epsilon }}\delta ^{ab}(g_{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}})}$

選擇${\displaystyle \xi }$ 需要規範固定。

引力子

重力子的傳播子是^[6][7][8]

${\displaystyle G_{abcd}(k)={\frac {g_{ac}g_{bd}+g_{bc}g_{ad}-g_{ab}g_{cd}}{k^{2}}}}$

相關條目

• 量子場論
• 格林函數
• 路徑積分表述
• 費恩曼圖