傳遞集合

傳遞集合、即在ZF或ZFC集合論中，一個集合(或類)${\displaystyle X}$是傳遞的，如果

• ${\displaystyle \forall y\forall z\ (y\in X)\land (z\in y)\Rightarrow (z\in X)}$

或等價地，

• ${\displaystyle \forall y(y\in X)\Rightarrow (y\subseteq X)}$

或者

• ${\displaystyle \cup X\subseteq X}$

設${\displaystyle x}$為傳遞集，於是由${\displaystyle z\in y\in x}$能推出${\displaystyle z\in x--}$這和偏序的傳遞性類似。因此，說${\displaystyle x}$是傳遞集相當於說${\displaystyle (x,\in )}$是一個偏序集。

在其它有基本元素的概念的集合論中，傳遞性可以說成

• 如果${\displaystyle B}$不是基本元素且${\displaystyle B\in A}$，則${\displaystyle B\subseteq A}$

不包含基本元素的一個集合${\displaystyle A}$是傳遞性的，若且唯若 ${\displaystyle A\subset {\mathcal {P}}(A)}$。

傳遞閉包

集合${\displaystyle A}$的傳遞閉包是滿足${\displaystyle A\subseteq B}$的（在包含關係下）最小的傳遞集${\displaystyle B}$ 。

設${\displaystyle X}$為集合，則${\displaystyle X}$的傳遞閉包可以直觀地描述成:

${\displaystyle \cup \{X,\cup X,\cup \cup X,\cup \cup \cup X,\cup \cup \cup \cup X,\ldots \}}$。

傳遞類

傳遞類經常用於構造集合論自身的釋義，通常叫做內模型。原因是有界公式所定義的性質對於傳遞類是絕對的。

序數

序數可以被定義為成員均是傳遞集的傳遞集。

參見

• 併集
• 冪集