數學中的伯努利不等式指出:對任意整數 n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} ,和任意實數 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} 有: ( 1 + x ) n ≥ 1 + n x {\displaystyle (1+x)^{n}\geq 1+nx} ; 此條目需要擴充。 (2013年8月25日) 此條目沒有列出任何參考或來源。 (2013年8月25日) 如果 n ≥ 0 {\displaystyle n\geq 0} 且是偶數,則不等式對任意實數 x {\displaystyle x} 成立。 可以看到在 n = 0 , 1 {\displaystyle n=0,1} ,或 x = 0 {\displaystyle x=0} 時等號成立,而對任意正整數 n ≥ 2 {\displaystyle n\geq 2} 和任意實數 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} , x ≠ 0 {\displaystyle x\neq 0} ,有嚴格不等式: ( 1 + x ) n > 1 + n x {\displaystyle (1+x)^{n}>1+nx\,} 。 伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。 Remove ads證明和推廣 伯努利不等式可以用數學歸納法證明:當 n = 0 , 1 {\displaystyle n=0,1} ,不等式明顯成立。假設不等式對正整數 n {\displaystyle n} ,實數 x ≥ − 1 {\displaystyle x\geq -1} 時成立,那麼 ( 1 + x ) n + 1 = ( 1 + x ) ( 1 + x ) n ≥ ( 1 + x ) ( 1 + n x ) {\displaystyle (1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)} = 1 + ( n + 1 ) x + n x 2 ≥ 1 + ( n + 1 ) x {\displaystyle =1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x} 。 下面是推廣到實數冪的版本:如果 x > − 1 {\displaystyle x>-1} ,那麼: 若 r ≤ 0 {\displaystyle r\leq 0} 或 r ≥ 1 {\displaystyle r\geq 1} ,有 ( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx} ; 若 0 ≤ r ≤ 1 {\displaystyle 0\leq r\leq 1} ,有 ( 1 + x ) r ≤ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx} 。 這不等式可以用導數比較來證明: 當 r = 0 , 1 {\displaystyle r=0,1} 時,等式顯然成立。 在 ( − 1 , ∞ ) {\displaystyle (-1,\infty )} 上定義 f ( x ) = ( 1 + x ) r − ( 1 + r x ) {\displaystyle f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)} ,其中 r ≠ 0 , 1 {\displaystyle r\neq 0,1} , 對 x {\displaystyle x} 求導得 f ′ ( x ) = r ( 1 + x ) r − 1 − r {\displaystyle f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r} , 則 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} 當且僅當 x = 0 {\displaystyle x=0} 。分情況討論: 0 < r < 1 {\displaystyle 0<r<1} ,則對 x > 0 {\displaystyle x>0} , f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} ;對 − 1 < x < 0 {\displaystyle -1<x<0} , f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} 。因此 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x = 0 {\displaystyle x=0} 時取最大值 0 {\displaystyle 0} ,故得 ( 1 + x ) r ≤ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx} 。 r < 0 {\displaystyle r<0} 或 r > 1 {\displaystyle r>1} ,則對 x > 0 {\displaystyle x>0} , f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} ;對 − 1 < x < 0 {\displaystyle -1<x<0} , f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} 。因此 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 在 x = 0 {\displaystyle x=0} 時取最小值 0 {\displaystyle 0} ,故得 ( 1 + x ) r ≥ 1 + r x {\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx} 。 在這兩種情況,等號成立當且僅當 x = 0 {\displaystyle x=0} 。 Remove ads相關不等式 下述不等式從另一邊估計 ( 1 + x ) r {\displaystyle (1+x)^{r}} :對任意 x , r > 0 {\displaystyle x,{\mbox{ }}r>0} ,都有 ( 1 + x ) r < e r x {\displaystyle (1+x)^{r}<e^{rx}\,} 。 我們知道 1 + x < e x {\displaystyle 1+x<e^{x}} ( x > 0 {\displaystyle x>0} ),因此這個不等式是成立的。 Remove adsLoading related searches...Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Remove ads