伴隨向量映射原理

伴隨向量映射原理（covector mapping principle）是泛函分析的基礎定理里斯表示定理中的一個特例。名稱是由Ross（英語：I. Michael Ross）和其工作夥伴所命名^{[1][2][3][4][5][6]}。伴隨向量映射原理提供了運算型最優控制中，可以將離散化和對偶性（dualization）交換順序的條件。

說明

假設要將龐特里亞金最大化原理應用在問題${\displaystyle B}$，會從給定的最佳控制問題產生一個邊值問題。依照Ross的論點，此邊值問題是龐特里亞金提昇（Pontryagin lift），表示為問題${\displaystyle B^{\lambda }}$。

現在要離散化問題${\displaystyle B^{\lambda }}$，這會產生問題${\displaystyle B^{\lambda N}}$，其中${\displaystyle N}$ 表示離散化的點數。為了方便起見，有需要證明下式成立：

${\displaystyle N\to \infty ,\quad {\text{Problem }}B^{\lambda N}\to {\text{Problem }}B^{\lambda }}$

在1960年代Kalman等人^[7]就已證明要求解${\displaystyle B^{\lambda N}}$會非常的困難。此困難性稱之為「複雜度咒詛」（curse of complexity）^[8]，是「維度咒詛」（dimensionality）的互補。

在1990年代開始的一系列論文中，Ross和Fahroo證明有更簡單求解問題${\displaystyle B^{\lambda }}$（因此也包括問題${\displaystyle B}$）的方法，作法是先進行離散化（問題${\displaystyle B^{N}}$）再進行對偶（問題${\displaystyle B^{N\lambda }}$）。此作法需要很小心的進行，以確保解的一致性及收斂。伴隨向量映射原理確保可以找到一個伴隨向量的映射律，將問題${\displaystyle B^{N\lambda }}$的解映射到問題${\displaystyle B^{\lambda N}}$的解。

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