佩多不等式

幾何學的佩多不等式，是關連兩個三角形的不等式，以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出：如果第一個三角形的邊長為${\displaystyle a,b,c}$，面積為${\displaystyle f}$，第二個三角形的邊長為${\displaystyle A,B,C}$，面積為${\displaystyle F}$，那麼：

${\displaystyle A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\geq 16Ff}$，

等式成立當且僅當兩個三角形為一對相似三角形，對應邊成比例；
也就是${\displaystyle {\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}}$。

證明

• 由海倫公式，兩個三角形的面積可用邊長表示為

${\displaystyle 16f^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}$

${\displaystyle 16F^{2}=(A+B+C)(A+B-C)(A-B+C)(B+C-A)=(A^{2}+B^{2}+C^{2})^{2}-2(A^{4}+B^{4}+C^{4})}$

再由柯西不等式，

${\displaystyle 16Ff+2a^{2}A^{2}+2b^{2}B^{2}+2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle \leq {\sqrt {(16f^{2}+2a^{4}+2b^{4}+2c^{4})}}{\sqrt {(16F^{2}+2A^{4}+2B^{4}+2C^{4})}}}$

${\displaystyle =(a^{2}+b^{2}+c^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})}$

於是，

${\displaystyle 16Ff\leq A^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2a^{2}A^{2}+B^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2b^{2}B^{2}+C^{2}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2c^{2}C^{2}}$

${\displaystyle =A^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+B^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})+C^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$

命題得證。

等號成立若且唯若${\displaystyle {\tfrac {a}{A}}={\tfrac {b}{B}}={\tfrac {c}{C}}={\sqrt {\tfrac {f}{F}}}}$，也就是說兩個三角形相似。

ABC是第一個三角形，A'B'C'是取相似後的第二個三角形，BC與B'C'重合

• 幾何證法

三角形的面積與邊長的平方成正比，因此在要證的式子兩邊同乘一個係數${\displaystyle \lambda ^{2}}$，使得${\displaystyle \lambda A=a}$，幾何意義是將第二個三角形取相似（如右圖）。 設這時A、B、C變成x、y、z，F變成F'。 考慮 AA' 的長度。由余弦公式，

${\displaystyle AA'^{2}=AB^{2}+BA'^{2}-2AB\cdot BA'\cos(\angle B-\angle B')}$

${\displaystyle =c^{2}+z^{2}-2cz(\cos \angle B\cos \angle B'+\sin \angle B\sin \angle B')}$

將${\displaystyle \cos \angle B={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}},\cos \angle B'={\frac {x^{2}+z^{2}-y^{2}}{2xz}}}$,${\displaystyle \sin \angle B={\frac {2f}{ac}},\sin \angle B'={\frac {2F'}{xz}}}$

代入就變成：

${\displaystyle 0\leq AA'^{2}=c^{2}+z^{2}-2cz\left[{\frac {(a^{2}+c^{2}-b^{2})(x^{2}+z^{2}-y^{2})}{4acxz}}+{\frac {4F'f}{acxz}}\right]}$

兩邊化簡後同時乘以${\displaystyle {\frac {1}{\lambda ^{2}}}}$，並注意到a=x，就可得到原不等式。 等號成立若且唯若A與A'重合，即兩個三角形相似。

相關條目

• 外森比克不等式