克利福德平行線

在橢圓幾何中，如果兩條線之間的垂直距離從一點到另一點是恆定的，則這兩條線是克利福德平行線（英語：Clifford parallel）或並列線。該概念最早由威廉·金登·克利福德 (William Kingdon Clifford)在橢圓空間中進行研究，並且僅出現在至少三維的空間中。由於平行線具有等距的性質，「平行」一詞是從歐幾里得幾何中借用的，儘管橢圓幾何的「線」是測地曲線，並且與歐幾里得幾何的線不同，它們的長度是有限的。

四元數代數提供了橢圓空間的描述幾何，其中克利福德平行性得到明確。

克利福德叢是一種基於克利福德平行線的拓撲構造，海因茨·霍普夫 (1931) 指出。

介紹

扭曲環跨越的三維球面上有兩個 克利福德 平行大圓。它們在四維歐氏空間中有一個共同的中心點，並且可以位於完全正交的旋轉平面上。

橢圓空間中 1 上的線由具有固定軸r的向量描述： ^[1]

${\displaystyle \lbrace e^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace }$

對於橢圓空間中的任意一點u ，有兩條 Clifford 平行線經過u 。右 Clifford 平行線為

${\displaystyle \lbrace ue^{ar}:\ 0\leq a<\pi \rbrace ,}$

左克利福德平行線是

${\displaystyle \lbrace e^{ar}u:\ 0\leq a<\pi \rbrace .}$

廣義克利福德平行

克利福德最初的定義是彎曲的平行線，但這個概念可以推廣到克利福德定義的多維平行物體。 ^[2]在 4 維歐氏空間中，Clifford 1、2、3 或 4 維平行物體通過等傾旋轉相互關聯。克利福德平行性和等斜旋轉是與SO(4)對稱性密切相關的方面，是正四多胞形的特徵。

克利福德面

將一條線繞另一條線旋轉，使其與克利福德線平行，從而創建克利福德面。

經過克利福德面上各點的克利福德平行線均位於該面上。因此，克利福德面是一個直紋曲面，因為每個點都在兩條線上，每條線都包含在曲面內。

給定四元數中兩個負一的平方根，記為r和s ，過它們的 Clifford 曲面由 給出

${\displaystyle \lbrace e^{ar}e^{bs}:\ 0\leq a,b<\pi \rbrace .}$

歷史

克利福德平行線最早由英國數學家威廉·金登·克利福德於 1873 年描述。

1900 年，吉多·富比尼 (Guido Fubini)撰寫了他的博士論文，主題是橢圓空間中的克利福德平行。

1931年，海因茨·霍普夫（Heinz Hopf）利用克利福德平行線構造了霍普夫映射。

2016 年，漢斯·哈夫利切克（Hans Havlicek）證明，克利福德平行面與克萊因二次曲面外部的平面之間存在一一對應關係。 ^[3]

參見

• 克利福德環面
• 24-cell § Clifford parallel polytopes
• 正四多胞體