克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連結複面上半可析函數實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味著反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味著相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希和漢斯·克喇末為名。

公式定義

給定一複數變數${\displaystyle \omega }$的複值函數${\displaystyle {\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )}$，其中${\displaystyle \chi _{1}}$和${\displaystyle \chi _{2}}$是實值函數。假設此函數${\displaystyle \chi (\omega )}$在複數平面上半部可析，且當${\displaystyle |\omega |}$趨向無限大時，它在上半平面趨於零的速度比${\displaystyle 1/|\omega |}$快或與之相等，那麼${\displaystyle \chi (\omega )}$滿足以下關係：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '}$

和

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',}$

其中${\displaystyle {\mathcal {P}}}$表示柯西主值。因此可析函數的實部和虛部並不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$和實數${\displaystyle \omega }$函數${\displaystyle {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}}$在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

${\displaystyle \oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0}$

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和${\displaystyle |\omega |}$成正比，因此只要${\displaystyle \chi (\omega ^{\prime })}$消失比${\displaystyle {1}/{\omega ^{\prime }}}$快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

${\displaystyle \oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.}$

以上第二項留數定理^[1]的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

${\displaystyle \chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.}$

分母裡的虛數${\displaystyle i}$意味者這是連系實部和虛部的公式。把${\displaystyle \chi (\omega )}$分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函數理論。物理上，響應函數${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })}$概括系統對在時間${\displaystyle t^{\prime }}$的作用力${\displaystyle F(t^{\prime })}$在另一時間${\displaystyle t}$的反應${\displaystyle P(t)}$：

${\displaystyle P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }}$

因為系統不能在施力前有任何反應因此當${\displaystyle t^{\prime }>t}$，${\displaystyle \chi (t-t^{\prime })=0}$。 可以證明這因果關係意味著${\displaystyle \chi (\tau )}$的傅立葉變換${\displaystyle \chi (\omega )}$在${\displaystyle \omega }$複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應，因此${\displaystyle \omega }$很大時，${\displaystyle \chi (\omega )}$會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數${\displaystyle \chi (\omega )}$通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數${\displaystyle \chi (\omega )}$的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函數的積分路徑是從${\displaystyle -\infty }$到${\displaystyle \infty }$，其中出現了負頻率。幸運的是，多數系統中，正頻響應決定了負頻響應，這是因為${\displaystyle \chi (\omega )}$是實數變量${\displaystyle \chi (t-t')}$的傅立葉變換，根據對實數進行傅立葉變換的性質，${\displaystyle \chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )}$，${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$是頻率${\displaystyle \omega }$的偶函數，而${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$是${\displaystyle \omega }$的奇函數。

根據該性質，積分可以從正負無窮區間約化為${\displaystyle [0,\infty )}$的區間上。考慮實部${\displaystyle \chi _{1}(\omega )}$的第一個關係，積分函數上下同乘${\displaystyle \omega '+\omega }$可得：

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$

由於${\displaystyle \chi _{2}(\omega )}$為奇函數，第二項為零，剩下的部分為

${\displaystyle \chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$

類似的推導亦可用於虛部：

${\displaystyle \chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.}$

該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。