蘭佐斯算法

Lanczos 算法是科內爾·蘭佐斯（英語：Cornelius_Lanczos）設計的一種直接算法，它由冪法（英語：Power_iteration）改編而來，用於找出${\displaystyle n\times n}$厄米矩陣的各組特徵值和特徵向量中「最有用的」（趨於極高/極低的）的${\displaystyle m}$組，${\displaystyle m}$通常（但不一定）遠小於${\displaystyle n}$。^[1]最初指定的方法儘管從原則上將計算效率應該很高，但是由於其數值不穩定而不敷實用。

1970 年，Ojalvo 和 Newman 提出了使該方法在數值上變穩定的方式，並將其應用於承受動態載荷的大型工程結構的求解。^[2]實現方式是，採取措施純化了 Lanczos 向量（即，反覆地把每個新生成的向量同所有先前生成的向量一起重新歸一化）^[2]，純化到任意的準確度即可，先前沒有執行這一步，因而產生了一系列被那些聯繫於最低自然頻率的向量嚴重污染了的向量。

在最初的文章中，這些作者還建議了選擇起始向量的方式（即，使用隨機數生成器來選擇起始向量的每個元素），並提出了一種根據經驗確定下來的方法，用來確定向量數量的減少量${\displaystyle m}$（即，應選為所需準確特徵值數量的約 1.5 倍）。此後不久，Paige 跟進了他們的工作，而 Paige 提供了錯誤分析。^{[3] [4]}1988 年，Ojalvo 為該算法製作了更詳細的歷史記錄和有效的特徵值誤差測試。^[5]