內點法

內點法（英語：Interior-point methods），也稱為障礙法（英語：barrier methods），是解決線性和非線性凸優化問題的一類算法。

內點法解決方案。藍線表示約束線，紅點表示迭代解決方案

內點法由前蘇聯數學家伊·伊·迪金（I. I. Dikin）於1967年發現，並於20世紀80年代中期在美國重新發明。1984年納倫德拉·卡瑪卡（Narendra Karmarkar）開發了一種稱為卡瑪卡算法的線性規劃方法，該算法在可證明的多項式時間內運行，並且在實踐中也非常高效。它能夠解決超出單純形法能力的線性規劃問題。與單純形法不同，它通過遍歷可行區域的內部來達到最佳解。該方法可以推廣到基於用於編碼凸集的自和諧障礙函數的凸規劃。

通過轉換為代碼形式，任何凸優化問題都可以轉化為最小化（或最大化）凸集上的線性函數^[1]。安東尼·V·菲亞科、加斯·P·麥考密克等人在20世紀60年代初研究了使用屏障對可行集進行編碼並設計屏障方法的想法。這些想法主要是針對一般非線性規劃而開發的，但後來由於針對此類問題存在更具競爭力的方法（例如順序二次規劃）而被放棄。

尤里·涅斯捷羅夫和阿爾卡迪·內米羅夫斯基提出了一類特殊的障礙，可用於編碼任何凸集。它們保證算法的迭代次數受解的維數和精度的多項式限制^[2]。

尚博勒-波克算法於2011年推出，是一種通過最小化非平滑成本函數來有效解決凸優化問題的算法，涉及原對偶方法（primal-dualapproach）^[3]。

卡瑪卡的突破重振了內點方法和障礙問題的研究，表明可以創建一種以多項式複雜性為特徵的線性規劃算法，而且與單純形法具有競爭力。哈奇延（Khachiyan）的橢球法已經是一種多項式時間算法，然而它太慢了因而沒有實際意義^[4]。