內生性

內生性（英語：Endogeneity）在計量經濟學中廣泛指代解釋變數與擾動項相關的現象。忽略內生性問題會違背高斯-馬可夫定理，導致產生偏誤的估計量，^[1]以及無效的政策建議。^[2]工具變數法是一種緩解內生性問題的常用方法。

  關於經濟理論中的概念，請見「外生變數與內生變數」。關於其他含義，請見「內源」。

內生性問題

如果迴歸模型中的解釋變數與擾動項相關，那麼最小平方法的迴歸係數的估計量將會是偏誤的。但是，如果其中的相關性不是同期的，那麼得出的係數仍然可能是一致的。有許多方法可以幫助糾正上述的偏誤，例如工具變數法和赫克曼矯正法（英語：Heckman correction）。

靜態模型

以下是內生性問題的常見原因。

遺漏變數

這種情況下，內生性來源於未受到控制的干擾變數，這一變數既和模型中的解釋變數相關，又存在於擾動項中。換言之，這一遺漏變數不僅影響解釋變數，同時還單獨地作用於被解釋變數。

假設需要估計的「真實」模型為：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}}$

但是${\displaystyle z_{i}}$在迴歸模型中被遺漏了（例如缺乏統計這一變數的手段）。因此，實際估計的模型為：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}}$

其中，${\displaystyle \varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}}$，也就是說，變數${\displaystyle z_{i}}$被包含在了擾動項當中。

如果${\displaystyle x}$和${\displaystyle z}$的相關係數不等於0，而且${\displaystyle z}$還獨立作用與${\displaystyle y}$（意味著${\displaystyle \gamma \neq 0}$），那麼${\displaystyle x}$就會與${\displaystyle \varepsilon }$相關。

這一例子中，${\displaystyle x}$對於${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$不是外生的，這是由於：對於給定的解釋變數${\displaystyle x}$，${\displaystyle y}$的分布不僅取決於${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle \beta }$，還受到${\displaystyle z}$以及${\displaystyle \gamma }$的影響。

測量誤差

假設某個解釋變數無法得到精準的測量。即，真實的變數${\displaystyle x_{i}^{*}}$無法觀察到，實際觀測到的是${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}}$，其中，${\displaystyle \nu _{i}}$是測量誤差（「噪音」）。模型：

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}}$

需要改寫為實際觀測到的形式：

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad (u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}}$

由於${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle u_{i}}$都受到${\displaystyle \nu _{i}}$影響，這兩個變數是相關的。結果來看，${\displaystyle \beta }$最小平方法估計量會被低估。

被解釋變數${\displaystyle y_{i}}$的測量誤差不會導致內生性，但是會引起擾動項的變異數增大。

互為因果

假設兩個變數互相決定（存在「同時性」），兩者的結構方程式模型（英語：Structural equation modeling）如下：

${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}}$

${\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}}$

對兩個等式的任意一個進行估計都會導致內生性。以前一個等式為例，${\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0}$。在${\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0}$的假設下求解${\displaystyle z_{i}}$得到：

${\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}}$

又假設${\displaystyle x_{i}}$和${\displaystyle \gamma _{i}}$都與${\displaystyle u_{i}}$無關，

${\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0}$

因此，對兩個等式的估計都會受到內生性影響。

動態模型

內生性問題在時間序列因果分析中影響尤為廣泛。在因果關係中，時期${\displaystyle t}$的變數很可能與${\displaystyle t-1}$的其他變數存在跨期關聯。假設解釋變數「蟲害程度」在本期與其他變數都無關，但是與上一期的降雨量和肥料施用量有關。這種情況下，蟲害程度在同期是外生的，但是在時間序列當中卻存在內生性。

另請參閱

• 異質變異數