幾何力學

幾何力學將特定的幾何方法應用於許多力學領域，從質點力學和剛體力學到流體力學和控制論。

幾何力學主要適用於構型空間為李群或微分同胚群的系統，更一般地說，適用於構型空間的某些方面具有此種群結構的系統。例如衛星之類剛體的構型空間是歐氏運動群（空間中的平移與旋轉），而液晶的構型空間則是與內部狀態（規範對稱性或有序參數）耦合的微分同胚群。

動量映射與還原

幾何力學的主要思想之一是還原，可追溯到雅可比在三體問題中對節點的消除；現代形式由K. Meyer (1973)與J.E. Marsden、A. Weinstein (1974)分別獨立詮釋，都受到Smale (1970)的啟發。根據諾特定理，哈密頓或拉格朗日系統的對稱性會表現為守恆量，就是動量映射J的分量。若P是相空間，G是對稱群，則動量映射為${\displaystyle \mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}}$，還原空間是J的水平集對保相關水平集的G子群的商：對${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$，定義${\displaystyle P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }}$，若${\displaystyle \mu }$是J的正則值，則此還原空間是辛流形。

幾何積分器

力學的重要幾何方法是將幾何融入數值方法，尤其是辛與變分積分器，特別適於哈密頓和拉格朗日系統的長期積分。

歷史

「幾何力學」偶爾指17世紀的力學。^[1]

作為現代學科，其源於1960年代的四部著作：Vladimir Arnold (1966)、Stephen Smale (1970)、Jean-Marie Souriau(1970)、Abraham & Marsden《力學基礎》第一版(1967)。Arnold的基礎研究表明，自由剛體的歐拉方程是旋轉群SO(3)上的測地流方程，並將這一幾何見解應用於理想流體動力學中。當中，旋轉群內被保體積微分同胚群取代。Smale關於拓撲學與力學的論文研究了對稱性的李群作用於動力系統時，諾特定理產生的守恆量，並定義了現在所謂動量映射（Smale稱之為角動量），還提出了能量-動量水平面的拓撲及其對動力的影響。Souriau在書中也考慮了由對稱群作用產生的守恆量，但他更關心涉及的幾何結構（如該動量在一大類對稱中的等差性質），而較少涉及動力學問題。 這些觀點，尤其Smale的觀點是《力學基礎》第二版(Abraham & Marsden, 1978)的核心內容。

應用

• 計算機圖形學
• 控制論 — 見Bloch (2003)
• 液晶 — 見Gay-Balmaz, Ratiu, Tronci (2013) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 磁流體動力學
• 分子振盪
• 非完整約束 — 見Bloch (2003)
• 非線性穩定
• 電漿體 — 見Holm, Marsden, Weinstein (1985)
• 量子力學
• 量子化學 — 見Foskett, Holm, Tronci (2019) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 超流體
• 熱力學 — 見Gay-Balmaz, Yoshimra (2018) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 空間探索的軌跡規劃
• 水下航行器
• 變分積分器；見Marsden and West (2001)